Question

数学奥赛不等式

已知 a b c∈R+
求证 (2a+b+c)^2/(2a^2+(b+c)^2)+(a+2b+c)^2/(2b^2+(a+c)^2)+(a+b+2c)^2/((a+b)^2+2c^2)<=8.

Answer 1

证明：(2a+b+c)^2/[(2a)^2+(b+c)^2]
=[(2a)^2+(b+c)^2+2*2a*(b+c)]/[(2a)^2+(b+c)^2]
=1+2*2a*(b+c)/[(2a)^2+(b+c)^2]
因为(2a)^2+(b+c)^2>=2*2a*(b+c)，当且仅当2a=b+c时等号成立
则1+2*2a*(b+c)/[(2a)^2+(b+c)^2]<=2，即(2a+b+c)^2/[(2a)^2+(b+c)^2]<=2
同理可得：(a+2b+c)^2/(2b^2+(a+c)^2)<=2，当且仅当2b=a+c时等号成立
(a+b+2c)^2/((a+b)^2+2c^2)<=2，当且仅当2c=a+b时等号成立
所以(2a+b+c)^2/(2a^2+(b+c)^2)+(a+2b+c)^2/(2b^2+(a+c)^2)+(a+b+2c)^2/((a+b)^2+2c^2)<=6恒成立，当且仅当 2a=b+c、2b=a+c、2c=a+b时，即a=b=c时等号成立
则当a b c∈R+时，(2a+b+c)^2/(2a^2+(b+c)^2)+(a+2b+c)^2/(2b^2+(a+c)^2)+(a+b+2c)^2/((a+b)^2+2c^2)<=8

Answer 2

这么长一串！？！？