Question

x平方减2xy加2y平方等于2，求|x＋y|范围

Answer 1

解：
x²-2xy+2y²=2.
∴(x-y)²+y²=2
换元，可设
x-y=(√2)cost,
y=(√2)sint. t∈R
∴x+y
=(√2)cost+(2√2)sint
=(√10)[(1/√5)cost+(2/√5)sint]
=(√10)sin(t+a). (a为锐角， sina=1/√5, cosa=2/√5.)
即x+y=(√10)sin(t+a).
易知，-√10≤（√10)sin(t+a)≤√10
∴|(√10)sin(t+a)|≤√10
∴|x+y|≤√10
即：|x+y|∈[0, √10]

Answer 2

x²－2xy＋2y²=2
(x－y)²＋y²=2
设：y=√2sinw，x－y=√2cosw即：x=√2(sinw＋cosw)，则：
|x＋y|
=|√2cosw＋2√2sinw|=|√10sin(w＋θ)|
则|x＋y|的范围是：[0，√10]

Answer 3

设x+y=m
有y=m-x
代入得:
2m^2-6xm+5x^2-2=0
判别式△=16-4x^2>=0
所以x∈[-2,2]
代入两个边界值,求得m范围为
[-3,3]
所以|X+Y|范围为[0,3]