Question

二诊在线求助！ 已知函数f(x)=x^2+a/x(a>0)的定义郁为(1,+无穷)，讨论f(x)在其

二诊在线求助！
已知函数f(x)=x^2+a/x(a>0)的定义郁为(1,+无穷)，讨论f(x)在其定义郁上的单调性

Answer 1

f(x)=x²+a/x (a>0, x>1)

f'(x)=2x-a/x²

令 f'(x)=0 得 2x³=a，x=(a/2)^(1/3)

当 a>2 时，x>1，f'(x)=2x-a/x² 才具有零点，即有水平切线，函数 f(x)=x²+a/x (a>0, x>1) 曲线才有升降，单调递减区间是 (1,(a/2)^(1/3))，单调递增区间是 ((a/2)^(1/3),+∞)

当 a∈(0,2] 时，在定义域 (1,+∞) 中 f'(x)=2x-a/x²>0，函数 f(x)=x²+a/x (a>0, x>1) 始终为增函数.

如动画所示（单击才可见到效果），以 y=3 为界，下方的曲线为a∈(0,2]，f(x) 单调递增；上方的曲线为 a>2，f(x) 先递减再递增，转折点 x=(a/2)^(1/3) 随 a 增大而右移.