Question

空间几何

设D是由曲线y=x^2以及该曲线在(1,1)处的切线与y轴所围成的平面区域。
求:（1）平面区域D的面积 （2）D绕y轴旋转所形成的旋转体体积

Answer 1

y=x² 在点 (1,1) 的切线方程是 y=2x-1

S=[0,1]∫[x²-(2x-1)]dx=x³/3-x²+x|[0,1]=1/3

切线 y=2x-1 与 y 轴的交点是 (0,-1)

x=√y, x=(y+1)/2

V=[-1,1]∫[π(y/2+1/2)²-π(√y)²]dy=[-1,1]π/4∫(y²+y+1)dy=π/4*(y³/3+y²/2+y)|[-1,1]=2π/3

Answer 2

1)Y=X^2;dy/dx=2x即y=2x-1;y-1=2(x-1);s=∫（x^2-2x+1）dx=x^3/3-(x^2-x)=1/3
2)ds=p[(y+1)/2]^2dy-p[y^(1/2)]^2dy;
s=∫ds