Question

为什么许多人觉得数学很难？

Answer 1

主要是做题不是做一道题，而是一个类型的题。要彻底理解这种题的关键点在那里，只有这样才算是会做这一个类型的题。其次是你太紧张了。使得同类型的题目稍微一变形就不会了。其实你只要静下心来耐心看的话还是会做出来的，说不定你就有卷子发下来你不看答案就又会做了的经历......

只要掌握方法，经常运用，就不难。
对付应用题的一般方法，解方程式是一个解应用题的有力手段。所以，能熟练的建立方程以及解方程就是关键。这种解题方式，我称之谓四步曲：
1 。设未知数；（一般以所求数为未知数）
2 。按题意立方程；（*）
3 。解方程；
4 。检验，并作答。
做好这四步，就功德圆满了。
* 2。说来容易，做时难。难就难在“题意”两字。所以分析就是关键。要做到这点，就要化工夫，多看类型精做题。
如果你觉得解题困难，不妨拿几个到此地，给你分析分析。能给好学上进的学生解题，是我的乐趣，也是我的荣幸。何况，此地高手云集，他们都会乐意的。

会者不难 难者不会
只要把公式和概念（包括定义，性质定理和判定定理）全部记清楚
然后在做题的过程中注意总结方法 学会举一反三
考试时还要以命题者的身份看问题 弄清楚命题者所考的是什么
另外学习数学还要有兴趣才行 因为数学是理科的基础
如果对数学没兴趣的话会感到它很枯燥
不要沉迷在题海中 当然多做题可以增长见识
一定要注意的是要总结 最好是弄个错题集 把曾经错过的积累起来
常看看 直到对它十分熟悉

数学不难 重在高一高二打基础 高三找技巧 适当做题 不要搞题海战术 最重要的是做过题后回来反思一下 掌握其中的做题技巧 要学会举一反三

其实考试考的就那么几类型题 形式上变了一下而已 本质是一样的

我现在在读高四 我们的数学老师是全校乃至全市最好的一位数学老师 跟着他学习简直就是一种享受 数学若是真的学进去了 是一种极大的享受

好好钻研一下吧 体验一下那种别处找不到的快乐

Answer 2

数学说难也不是很难，说容易野不是很容易，看你对数学敢兴趣否？你感兴趣的话，再难的题目都会被你拿下，不敢兴趣加上不想学的话，再简单的题目都做不出来！端正态度，认真学习，数学需要的是在把握基本知识的基础上做大量的题目，“做多了”你就会爱上她了。那还难么？
为什么数学难学2011-04-21 21:20长期以来，不管是数学系的学生，还是其他专业的学生，甚至是中学生，对于数学的反应
普遍是难学，那么什么是难学呢？是什么原因导致数学难学呢？最近反复看庞加莱的书《
科学与方法》（商务印书馆，李醒民译），其中第二编第二章谈到‘数学定义和教学’，
其观点非常有意义，结合我的30多年学习数学的经验和理解，我觉得有必要对于数学的学
习问题做个较为深入的探讨。

其实所谓难学，并不是书上的字不认识，无非都是汉字和字母构成，没有一个不认识的，
但是连在一起就未必认识了，即便认识了，甚至可以做习题了，但是依然觉得不懂。这里
说的是理解的问题。那么什么是理解呢？庞加莱说道：

“这个词对于所有世人具有相同的意义吗？相继审查组成定理证明的每一个演绎推理，弄
清它的正确性、它与游戏规则的一致性，这就是理解一个定理的证明吗？同样的，为了理
解一个定义，这仅仅是辨认人们已经知道的所使用的全部词的意义并弄清它不隐含矛盾吗
？对于一些人来说，情况就是这样；当他们这样做了，他们将说：我理解了。对于大多数
人来说，情况并非如此。几乎所有的人都更为苛求；他们希望了解的不仅是证明的所有演
绎推理是否正确，而且是它们为什么以这种秩序而不以另外的秩序联系起来。对他们来说
，它们似乎是由任性产生的，而不是有总是意识到所达目标的理智产生的，他们不认为他
们理解了。”

庞加莱继续说：“无疑的，他们本身恰恰没有意识到他们渴望的东西，他们不能系统的阐
述他们的欲望，但是，如果他们得不到满足，那么他们便模糊的感觉到缺乏某些东西。于
是，会发生什么情况呢？一开始，他们还觉察到人们摆在他们面前的论证；他们不久便遗
忘了；他们很快使一瞬间的亮光消失在永恒的暗夜中。”

“人们总是询问，这有什么用处；如果他们在实践中或自然界中找不到它们，他们将不能
理解如此这般的数学概念的正当理由。在每一个词下，他们都希望提出明显的图像；定义
必须唤起这个图像，以致在定理证明的每一个步骤中，他们可以看到它变换和发展。只有
在这一条件下，他们才能理解和记住。这些常常欺骗他们自己；他们不听信推理，他们着
眼于图形；他们自以为他们理解了，他们只是看见。”

这里强调的是人们对于理解的感觉，而不是对于文字的字面解释，即便是字面都明白，但
是内心深处的感觉就是不大对劲，这就是说，感性和理性的分离矛盾，正好比一个转向的
人尽管可以通过理性去辨认东南西北方位，但是主观的感觉总是觉得不对。这就是所谓的
理解障碍。人们学习数学首先遇到的就是理解障碍。越是到了数学学习的高级阶段，这种
理解障碍遇到的机会就越大。比如，我们学习极限的时候会遇到，这是因为我们还从来没
有试图在生活中体验无限是什么。当我们第一次试图解释什么是无限的时候，拗口的语言
所描述的那一套逻辑在生活中找不到原型，甚至找不到类似的可以比较。这就产生了理解
障碍。当我们从数学分析过渡到泛函分析的时候，从平面几何、解析几何到拓扑的时候，
我们一样会遇到理解障碍，这是从具体到抽象的跨越。在跨越这些理解障碍的时候，我们
的思想深处对于抽象逻辑的熟练程度并不深，还没有真正的掌握抽象逻辑的好处。

我们从小学习数学总是从物理世界开始的，从直观开始的，但是数学具有天生的抽象性。
比如，学习整数加法的时候，我们可以用类似手指头之类的实际物体在边上进行示意。学
习乘法的时候，也是多个相同加法的另一种描述。更近一步，庞加莱举例说“在小学，要
定义分数，人们切开苹果或者馅饼；当然这是在内心切开，实际上并没有切开，因为我没
有假定初等教育的预算容许如此挥霍。另一个方面，到了大学，却说分数是用水平线分开
的两个整数的组合；我们通过约定定义这些符号可以服从的运算，也可以严格地定义分数
。。。。。但是如果有人试图把这种抽象的定义给予初学者，那岂不是使他呆若木鸡。”

这深刻的表明，由于人类认知能力并不能天生的形成（也许有人会对此有不同意见），而
是一个不断提高的过程。开始我们会依赖物理的或者等价的说，是经验的，来学习数学的
基本知识，但是数学为了能够完成它的复杂任务，停留在直观的角度并不能带来好处。那
就意味着，我们在教育的过程中，应该重点强调，我们的学习就是一个从直观的、经验的
，到抽象的逻辑思辨的过程。对于学生来说，就是要尽早尽快的适应这些抽象的逻辑，而
不是仅仅停留在直观的角度。

庞加莱又举了一个例子：“假定我们在一个班级里，老师讲到：圆是与称之为圆心的内部
一点等距的点的轨迹（这个在解析几何中很显然的定义）。好学生在他的笔记本上写下这
句话；差学生拉长了脸；但是，无无论谁都不理解其含义；于是，老师拿起粉笔，在黑板
上画了一个圆。学生认为：啊！他为什么不同时说圆是环形物呢，否则我们早该理解了。
毫无疑问，老师的定义更科学，学生的定义是无效的，因为它不能用于证明，而且不能培
养学生分析概念的有益习惯。但是，人们应该向他们说明，他们并不理解他们自以为知道
的东西，应该引导他们意识到他们的原始概念的粗糙性，意识到他们需要使概念变得纯粹
、变得精确。”

尽管数学看似更精确，但是公理化系统的努力最后的结果表明，经验的、直觉的仍然是最
基本的基础，不过这不妨碍建立在有限的几个直觉基础之上的数学命题本身的抽象性。与
我们直觉上喜欢的形象相比，数学要抽象的多。我们总是试图用粗糙的概念去解读遇到的
数学问题，这就造成了理解障碍。

我们直觉粗糙的另一个鲜明的例子是，我们心目当中的连续性，其实是很光滑的连续，和
我们严格定义的连续并不完全吻合，事实上，我们可以构造出处处连续而处处不可导的例
子。这和我们的直觉相差很大。实际上，在大多数情况下，我们都是粗糙的感觉。

粗糙的直觉依然有用。假如把我们直觉形成集合A，自然界形成的集合是B,数学的描述集合
是C，那么真实的情况将是A属于B，B属于C。也就是说，虽然数学严格了，抽象了，但是似
乎并没有创造出更多的东西，而仅仅是多了一些无用的垃圾。实际上，对于数学上描述的
能量有限的（平方可积函数类）函数，几乎所有的这样函数都是没有实际价值的，有实际
价值往往是有一定的光滑性，或者和光滑性类似的性质的东西。如果学生一上来就学习处
处连续而处处不可导的函数，估计没有几个愿意学习下去。

数学的另一个难学的原因在于，数学的知识体系是有序的。所谓有序，那就是数学知识类
似楼梯一样，不能做跨越式的学习（大多数如此）。如果用高等数学的名词来解释，那就
是高阶马尔科夫链。每一个学习环节都要依赖之前学习过的很多个环节的数学知识。这就
导致我们必须从金字塔的底端开始学习，一个台阶一个台阶上，假如在某一个台阶遇到了
理解障碍，后续的学习不堪设想。而且学了之后，必须熟练，否则后续的学习一样遇到困
难。基本可以肯定的说，一个能够把大学本科数学系的教材通达无碍的学习下来的同学未
来基本上是个较为优秀的学者。因为作为搞学术研究的我们，在学习的路上似乎都遇到过
理解障碍的情况。也许没有遇到理解障碍的人，才是真正的天才。

那么这种理解力从何而来呢？ 我们既然知道数学的学习有赖于这种理解力，我们自然希望
我们能够及时的获得这样的理解力。但是，很遗憾，没有一个有效地办法去很快的提高人
的理解力。正好相反，数学正是锻炼和提高理解力的有效工具。可是，我们的时间是有限
的，我们在学习数学的过程中，一边被训练，一边被数学淘汰。事实就这么残酷。我们只
能寄希望于我们在学习的过程中不要被更早的淘汰，仅此而已。

总的来说，数学是人类理解自然的产物，也一定脱离不了自然。但是我们学习数学的方法
，或者老师教学的方法却有很大的改善空间。针对不同的人制定不同的理解力提高训练是
非常有必要的。但是由于资源有限，我们今天的教育还只能是大面积的普及式的教育，并
不能让所有的人都能体验到人类这个发明的魅力。

Answer 3

只要掌握方法，经常运用，就不难。
对付应用题的一般方法，解方程式是一个解应用题的有力手段。所以，能熟练的建立方程以及解方程就是关键。这种解题方式，我称之谓四步曲：
1 。设未知数；（一般以所求数为未知数）
2 。按题意立方程；（*）
3 。解方程；
4 。检验，并作答。
做好这四步，就功德圆满了。
* 2。说来容易，做时难。难就难在“题意”两字。所以分析就是关键。要做到这点，就要化工夫，多看类型精做题。
如果你觉得解题困难，不妨拿几个到此地，给你分析分析。能给好学上进的学生解题，是我的乐趣，也是我的荣幸。何况，此地高手云集，他们都会乐意的。

会者不难 难者不会
只要把公式和概念（包括定义，性质定理和判定定理）全部记清楚
然后在做题的过程中注意总结方法 学会举一反三
考试时还要以命题者的身份看问题 弄清楚命题者所考的是什么
另外学习数学还要有兴趣才行 因为数学是理科的基础
如果对数学没兴趣的话会感到它很枯燥
不要沉迷在题海中 当然多做题可以增长见识
一定要注意的是要总结 最好是弄个错题集 把曾经错过的积累起来
常看看 直到对它十分熟悉

数学不难 重在高一高二打基础 高三找技巧 适当做题 不要搞题海战术 最重要的是做过题后回来反思一下 掌握其中的做题技巧 要学会举一反三

其实考试考的就那么几类型题 形式上变了一下而已 本质是一样的

我现在在读高四 我们的数学老师是全校乃至全市最好的一位数学老师 跟着他学习简直就是一种享受 数学若是真的学进去了 是一种极大的享受

好好钻研一下吧 体验一下那种别处找不到的快乐

Answer 4

主要是做题不是做一道题，而是一个类型的题。要彻底理解这种题的关键点在那里，只有这样才算是会做这一个类型的题。其次是你太紧张了。使得同类型的题目稍微一变形就不会了。其实你只要静下心来耐心看的话还是会做出来的，说不定你就有卷子发下来你不看答案就又会做了的经历......

只要掌握方法，经常运用，就不难。
对付应用题的一般方法，解方程式是一个解应用题的有力手段。所以，能熟练的建立方程以及解方程就是关键。这种解题方式，我称之谓四步曲：
1 。设未知数；（一般以所求数为未知数）
2 。按题意立方程；（*）
3 。解方程；
4 。检验，并作答。
做好这四步，就功德圆满了。
* 2。说来容易，做时难。难就难在“题意”两字。所以分析就是关键。要做到这点，就要化工夫，多看类型精做题。
如果你觉得解题困难，不妨拿几个到此地，给你分析分析。能给好学上进的学生解题，是我的乐趣，也是我的荣幸。何况，此地高手云集，他们都会乐意的。

会者不难 难者不会
只要把公式和概念（包括定义，性质定理和判定定理）全部记清楚
然后在做题的过程中注意总结方法 学会举一反三
考试时还要以命题者的身份看问题 弄清楚命题者所考的是什么
另外学习数学还要有兴趣才行 因为数学是理科的基础
如果对数学没兴趣的话会感到它很枯燥
不要沉迷在题海中 当然多做题可以增长见识
一定要注意的是要总结 最好是弄个错题集 把曾经错过的积累起来
常看看 直到对它十分熟悉

数学不难 重在高一高二打基础 高三找技巧 适当做题 不要搞题海战术 最重要的是做过题后回来反思一下 掌握其中的做题技巧 要学会举一反三

其实考试考的就那么几类型题 形式上变了一下而已 本质是一样的

我现在在读高四 我们的数学老师是全校乃至全市最好的一位数学老师 跟着他学习简直就是一种享受 数学若是真的学进去了 是一种极大的享受

好好钻研一下吧 体验一下那种别处找不到的快乐

Answer 5

数学难，就难在数学思维上，知识都是一样的，问什么有些同学就学的很好？关键在于对数学的学习兴趣，以及数学的思维培养上，其中建模能力是关键。很大一部分是天生的，同样容积的大脑 装这个多点，装那个就会少点，左脑大右脑就小，逻辑思维强，其他方面就会差些，当然有些人是平均大小的 因为我们的大脑就像是计算机的处理器，有部分人的脑袋配置比较好，所以运算的速度比较快。 因为大多人都不爱费脑 不是难学，而是对他不感兴趣吧。必须有兴趣，加上认真学习，平时多练习即可。
上课认真听，记住一些定理和公式。弄懂课本上的例题。多多做些习题，学会灵活使用。比方说让你求角的度数的题目,要想到的有（对顶角，等边三角形，直角，平角，内角和，外角......等）当遇到难题时，不要放弃，要认真分析，找到突破点，当你做出来时，就会有种成功感。
多做题，多动脑，多观察，你爱上他就会发现，其实数学很奇妙，很好玩。 主要是做题不是做一道题，而是一个类型的题。要彻底理解这种题的关键点在那里，只有这样才算是会做这一个类型的题。其次是你太紧张了。使得同类型的题目稍微一变形就不会了。其实你只要静下心来耐心看的话还是会做出来的，说不定你就有卷子发下来你不看答案就又会做了的经历......

只要掌握方法，经常运用，就不难。
对付应用题的一般方法，解方程式是一个解应用题的有力手段。所以，能熟练的建立方程以及解方程就是关键。这种解题方式，我称之谓四步曲：
1 。设未知数；（一般以所求数为未知数）
2 。按题意立方程；（*）
3 。解方程；
4 。检验，并作答。
做好这四步，就功德圆满了。
* 2。说来容易，做时难。难就难在“题意”两字。所以分析就是关键。要做到这点，就要化工夫，多看类型精做题。
如果你觉得解题困难，不妨拿几个到此地，给你分析分析。能给好学上进的学生解题，是我的乐趣，也是我的荣幸。何况，此地高手云集，他们都会乐意的。

会者不难 难者不会
只要把公式和概念（包括定义，性质定理和判定定理）全部记清楚
然后在做题的过程中注意总结方法 学会举一反三
考试时还要以命题者的身份看问题 弄清楚命题者所考的是什么
另外学习数学还要有兴趣才行 因为数学是理科的基础
如果对数学没兴趣的话会感到它很枯燥
不要沉迷在题海中 当然多做题可以增长见识
一定要注意的是要总结 最好是弄个错题集 把曾经错过的积累起来
常看看 直到对它十分熟悉

数学不难 重在高一高二打基础 高三找技巧 适当做题 不要搞题海战术 最重要的是做过题后回来反思一下 掌握其中的做题技巧 要学会举一反三

其实考试考的就那么几类型题 形式上变了一下而已 本质是一样的

我现在在读高四 我们的数学老师是全校乃至全市最好的一位数学老师 跟着他学习简直就是一种享受 数学若是真的学进去了 是一种极大的享受

好好钻研一下吧 体验一下那种别处找不到的快乐 这个问题的回答是多方面和多层次的。
我认为有以下原因：
1.基础不够
这个比较直接，如果连三角函数的基础知识都不清楚，怎么做三角运算呢？所以基础是
必须的。当年我学三角函数的时候，就是只记住cos(a+b)的公式之后通过各种替换展开得到
剩下的所有和角度相关的公式。这么做不仅仅是了解各个公式间的关系，更加巩固的对于
基础的理解和运用。
基础不仅仅是我们在学习一般数学知识时有用。基础在我们研究高等数学时其实更为重要。
因为数学是一种最简练精确的语言。该语言的拓展是基于已有底层语言的搭建和变换。如果
我们对于底层语言不够了解，那么更高层的语言是不会被设计出来的。
从简练精确这个角度比较容易描述这个东西：如果你不清楚
cute, lovely, pretty, beautiful, gorgeous
这些词的最细微的差别时，你很可能就用词不当从而惹到你本来希望称赞的女性。那么当你
希望进行精确描述时，由于基础不足而使用了错误的词，从而产生错误。或者你需要通过
多个词才能清楚的描述你想说的事情，从而导致不够简练。
2.思维模式不匹配，思考不严谨
很多人不习惯逻辑的思考，因为没有受过训练的人的思维是发散的。简单的来说，逻辑性
的思维就是按照给定的偏序连接多个元素。
比如糖是甜的，果汁含有大量的糖，所以果汁是甜的。如果前面两个命题缺少任意一个，
结论就不成立。
问题是，我们从生活经验和学习生活中得到许多经验并形成了许多假设。这些思考方式往往
成为了阻碍许多人学习数学的原因。
我们往往看到一些东西时，会“觉得”相应的一些事情“应该”是怎样怎样。长此以往，我们就
丧失了分析眼前情形是如何影响一些事情成为什么样的结果。特别是在做数学题时，如果我们
“感觉”不到结果“应该”是怎样怎样时，我们就不知道该怎么分析。有时候我们“感觉”到了，却
由于不恰当的假设而忽略了很重要的东西。同样的，往往我们还可能会得到错误的“感觉”，
从而走进死胡同而无法解题。
3.心理因素
当一个人对数学不理解时，这个人自然的对数学产生的抗拒心里。人的心里就是这样的，越是
不理解的东西，就越是恐惧，抵触。当然还有好奇。
可是对于许多人来说，学数学本来就不容易，又不知道有什么用，故而对学数学提不起兴趣。
那么剩下的就是抵触，从而更加的不易理解和学习。
这时，我们要客观的意识到不是自己不喜欢数学，而是自己的惰性和不安全感导致自己以为
自己不喜欢数学。最好的办法是建立自信并有执行力有效的学习数学。
4.熟悉程度不够
如1中所述，数学是一门语言。想要用好一门语言，唯一的办法是多用，同时还要知道对应
的语法。为什么我们要被99乘法表呢？因为通过反复的背诵，我们不仅仅的脑子熟悉了个位数
乘法，更是身体也跟着熟悉了。
但是，随着知识的不断积累，需要熟悉的东西越来越多，怎么办呢？
首先，最基础的东西一定要变成本能。这样的东西越多，层次越高，学习更高深的东西就
越容易。
其次，对于新的知识要处理，一定要转化为已经熟悉的东西。这个过程不仅仅是吸收理解，
更是巩固基础和熟悉新知识的好办法。
最重要的是多用。这里不一定是要做题还是怎么样。将相关的东西和知识在心中不断推导和
酝酿可以不断的帮助熟悉和理解。所有东西都是相关的，整个世界是一个很大很大的
分形几何，一定可以通过任何一个东西看到另一个东西的联系。当你看见了联系时，不仅仅
是将新的东西转化为已经熟悉的东西，你更是触碰到了对于新东西特质甚至本质的理解。
因为事物间的联系重视由于各自的特性的联系所决定的。