Question

高中数学选修4-4 课后习题

已知椭圆的中心为O.长轴，短轴的长分别为2a，2b(a>b>0),A,B分别为椭圆上的两点，且OA垂直OB。
（1）证明OA OB的倒数的平方和为一定值。
（2）求三角形OAB的面积最大和最小值。 谢谢
用极坐标的方法 谢谢

Answer 1

思路：（1）可利用直线OA，OB方程与椭圆方程联立求A，B点坐标满足的一元方程，进而求出A，B的横纵坐标的平方，代入
1|OA|2+1|OB|2，化简即可．
（2）由S△AOB=12|OA||OB|，1|OA|2+1|OB|2=a2+b2a2b2，可根据均值不等式求最小值，再根据S△2AOB=
14|OA|2|OB|2，把|OB|2转化为|OA|2，再根据椭圆中，|OA|范围即可求出面积最大值．

解：（1）设椭圆方程为x2a2+y2b2=1，设当直线OA斜率存在且不为0时，设方程为y=kx，
∵A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB．∴直线OB方程为y=-1kx
设A（x1，y1），b（x2，y2），把y=kx代入x2a2+y2b2=1得x12=a2b2b2+a2k2，∴y12=k2a2b2b2+a2k2
把y=-1kx代入x2a2+y2b2=1，得 x22=a2b2k2a2+b2k2，∴y22=a2b2a2+b2k2 1|OA|2+1|OB|2=1x12+y12+1x22+y22=1a2b2b2+a2k2+k2a2b2b2+a2k2+
1a2b2k2a2+b2k2+a2b2a2+b2k2=a2+b2a2b2
当直线OA，OB其中一条斜率不存在时，则另一条斜率为0此时1|OA|2+1|OB|2=1a2+1b2=a2+b2a2b2
综上，1|OA|2+1|OB|2为定值

（2）S△AOB=12|OA||OB|，∴S△2AOB=14|OA|2|OB|2
由（1）知1|OA|2+1|OB|2=a2+b2a2b2≥21|OA|21|OB|2=2|OA||OB|
∴S△AOB=12|OA||OB|≥a2b2a2+b2，∴S△AOBmin=a2b2a2+b2．
∵S△2AOB=14|OA|2|OB|2=14|OA|2(1a2+b2a2b2-1|OA|2)
=14(1a2+b2a2b2|OA|2-1|OA|4)，随着|OA|的增加，此函数值在增加
∵|OA|≤a，∴S△2AOB≤14(1a2+b2a2×b2×a2-1a4)=14a2b2
∴S△AOBmax=ab2
综上S△AOBmin=a2b2a2+b2，S△AOBmax=ab2

Answer 2

A(acos(a1),bsin(a1)).
B(acos(b1),bsin(b1)).
OA.OB = a^2cos(a1)cos(b1)+b^2sin(a1)sin(b1)= 0.
(1/|OA|)^2+(1/|OB|)^2 = (|OA|^2+|OB|^2)/(|OA|^2*|OB|^2) = (1/a)^2+(1/b)^2.
其中|OA|^2=(acos(a1))^2+(bcos(a1))^2
OB同理！

Answer 3

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