Question

已知正数数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的正整数n满足 2倍的根号下Sn等于an+1,求数列{an}的通项公式?

Answer 1

2倍的根号下Sn=An+1
根号下Sn=(An+1)/2
Sn=(An+1)^2 /4
An=Sn-S(n-1)=(An+1)^2 /4-(A(n-1)+1)^2 /4
即：4An=(An)^2+2An-[A(n-1)]^2-2A(n-1)
化简为：(An -1)^2=[A(n-1)+1]^2
因为An是正项数列，所以：
An-1=A(n-1)+1
An=A(n-1)+2
An是公差为2的等差数列
又A1=S1
2倍的根号下S1=A1+1
2倍的根号下A1=A1+1
A1=(A1+1)^2 /4
4A1=(A1)^2+2A1+1
(A1-1)^2=0
A1=1
所以，An=1+2(n-1)=2n-1

Answer 2

2√Sn=An+1
√Sn=(An+1)/2
Sn=(An+1)^2 /4
An=Sn-S(n-1)=(An+1)^2 /4-(A(n-1)+1)^2 /4
即：4An=(An)^2+2An-[A(n-1)]^2-2A(n-1)
化简为：(An -1)^2=[A(n-1)+1]^2
因为An是正项数列，
所以：An-1=A(n-1)+1An=A(n-1)+2An是公差为2的等差数列
又A1=S1
2√S1=A1+1
2√A1=A1+1
A1=(A1+1)^2 /4
4A1=(A1)^2+2A1+1(A1-1)^2=0
A1=1
所以，An=1+2(n-1)=2n-1

Answer 3

是个等差数列，你把sn那个等式平方，在用S（n+1）的等式减去Sn的等式得出是个等差数列，在求出a1，a2，然后写出通项公式。an=2n+1。给分吧，第一次回复