Question

如图在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作B

如图在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF//AC交DE的延长线于点F，连接CF， （1）求证：AD⊥CF （2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由。

Answer 1

解：（1）AD⊥CF
理由：∵△ABC为等腰三角形（已知）
∴∠CBA=∠CAB=45°（等腰直角三角形的定义）
∴AC=BC（等腰的定义）
∵∠ACB=90°（已知）
又∵BF∥AC（已知）
∴∠FBC=90°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠ACB=∠FBC（等量代换）
∵D为BC中点（已知）
∴BD=CD（中点的定义）
∴∠ABF=45°（等量代换）
∵DE⊥AB（已知）
∴∠DEB=∠FEB=90°(垂直的定义)
在△DBE和△FBE中
∠ABF=∠ABD（等量代换）

∵ BE=BE（公共边）

∠DEB=∠FEB（已证）
∴△DBE≌△FBE（ASA）
∴DB=FB（全等三角形的对应边相等）
∴BF=CD（等量代换）
在△ACD和△CBF中
AC=BC（已证）

∵ ∠ACB=∠CBF（已证）

CD=BF（已证）
∴△ACD≌△CBF（SAS）
∴CF=AD（全等三角形的对应边相等）
∠CAD=∠BCF（全等三角形的对应角相等）
∵∠BCF+∠ACF=90°（已知）
∴∠CAD+∠ACF=90°（等量代换）
∴∠CGA=90°（直角三角形的定义）
∴AD⊥CF（垂直的定义）
（2）△ACF为等腰三角形
理由：连接AF
在△ADB和△AFB中
AC=BC（已证）

∵ ∠ACB=∠CBF（已证）

CD=BF（已证）
∴△ADB≌△AFB（SAS）
∴AD=AF(全等三角形的对应边相等)
∵CF=AD（已证）
又∵AD=AF（已证）
∴CF=AF（等量代换）
∴△ACF为等腰三角形（等腰三角形的定义）

Answer 2

因为三角形ABC为等边直角三角形设AD与CF相交与点O
所以AC=B
又因为FB//AC 角ABC =45度
所以CF=DB=BF
即AC=CB,CD=BF
所以△ACD与△CBF相似即角CAD=角BCF即角DCO+角COD=90度
所以AD垂直于CF
<2>由1知FB=1/2BC=1/2AC,过点F作FH垂直于AC交AC与点H则由AH=FB,HF=CB,角AHF=角FBC
所以△AHF与△FBC全等,AF=FC
故△ABF为等边三角形

Answer 3

（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°．
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∴∠BDE=45°．
又∵BF∥AC，
∴∠CBF=90°．
∴∠BFD=45°=∠BDE．
∴BF=DB．（2分）
又∵D为BC的中点，
∴CD=DB．
即BF=CD．
在△CBF和△ACD中，

BF=CD
∠CBF=∠ACD=90°
CB=AC

，
∴△CBF≌△ACD（SAS）．
∴∠BCF=∠CAD．（4分）
又∵∠BCF+∠GCA=90°，
∴∠CAD+∠GCA=90°．
即AD⊥CF．（6分）

（2）△ACF是等腰三角形，理由为：
连接AF，如图所示，
由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，
∴BE垂直平分DF，
∴AF=AD，（8分）
∴CF=AF，
∴△ACF是等腰三角形．（10分）

Answer 4

此题有误。。。。

Answer 5

题目有问题