Question

请问一个定积分的问题

lim(n趋向于无穷）1/n(√1/√n+√2/√n+√3/√n+.....+√n/√n)等于多少（什么定积分）这里∫的上下限a,b应该怎么求？？

请写出详细过程。谢谢

Answer 1

这可以用定积分的定义来求极限
积分上下限分别是1,0
lim(n趋向于无穷）1/n(√1/√n+√2/√n+√3/√n+.....+√n/√n)
=∑1/n√(k/n) (k 从1到 n)
=∫(0,1)√xdx
=2/3x^(3/2)|(0,1)
=2/3
其实，由定积分的定义求极限：
取△xk=(b-a)/n Ek=a+(b-a)k/n
对比发现 △xk=(b-a)/n=1/n 所以b-a=1 .........(1)
Ek=a+(b-a)k/n=k/n 所以 a=0 .........(2)
积分下限a=0 ,上限b=1

追问

取△xk=(b-a)/n Ek=a+(b-a)k/n这一步不是很懂，能解释一下吗？定义不是f(i）△xi为定积分么？？

追答

△xi是每个小的区间长度，因为定积分的结果跟区间的划分及Ei的取值无关
为了方便，把积分区[a,b]间等分成n份，总的区间长度是b-a
所以，每个小的区间长度都是△xi=(b-a)/n (i=1,2,3...)
在每一个小区间上，选取区间右端点（当然也可选区间左端点）为Ei
Ei在x轴上的坐标是:【a+(b-a)i/n】 对应点的函数值是f(Ei)=f(a+(b-a)i/n)
这样每个小区间的面积就近似是f(Ei)△xi了
求和最后求极限，当n->无穷大时
自己画个曲边梯形的图，理解下。