Question

高中导数题目，请具体写出过程

1已知函数.f(x)=3ax^4-2(3a+1)x^2+4x
当a=1/6时，求f(x)的极值

2.设函数f(x)=a^2lnx-x^2+ax，a>0
求f(x)单调区间

Answer 1

1。已知函数.f(x)=3ax⁴-2(3a+1)x²+4x，当a=1/6时，求f(x)的极值
解：当a=1/6时，f(x)=(1/2)x⁴-3x²+4x
令f′(x)=2x³-6x+4=2(x³-3x+2)=2[x²(x-1)+x(x-1)-2(x-1)]=2(x-1)(x²+x-2)=2(x-1)²(x+2)=0
得驻点x₁=1，x₂=-2；
f′′(x)=6x²-6；f′′(1)=0，且当x从1的左边跑到1的右边时，f′(x)不变号，故x₁=1不是极值点；
f′′(-2)=24-6=18>0，故x₂=-2是极小点。极小值=f(-2)=8-12-8=-12，f(x)无极大值。
2。设函数f(x)=a²lnx-x²+ax，a>0；求f(x)单调区间
解：f′(x)=a²/x-2x+a=(-2x²+ax+a²)/x=-(2x²-ax-a²)/x=-(2x+a)(x-a)/x=-2(x+a/2)(x-a)/x
故当x≦-a/2及0<x≦a时，f′(x)≧0，即在区间(-∞，-a/2)∪(0，a]内f(x)单调增；
当-a/2≦x<0及a≦x<+∞时f′(x)≦0，即在区间[-a/2，0)∪[a，+∞)内f(x)单调减。

Answer 2

a=1/6
f(x)=x^4/2-3x²+4x
f'(x)=2x³-6x+4=0
x³-3x+2=0
(x³-1)-3x+3=0
(x-1)(x²+x+1)-3(x-1)=0
(x-1)(x²+x-2)=0
(x-1)²(x+2)=0
x=1,x=-2

f'(x)>=0时
(x-1)²(x+2)>=0
所以x+2>=0
x>=-2
同理，f'(x)<=0则x<=-2
所以x<-2是减函数，x>-2是增函数
所以x=-2是极小值点
f(-2)=-12
所以f(x)极小值=-12

2、
f'(x)=12ax³-(12a+4)x+4=0
3ax³-3ax-x+1=0
3ax(x+1)(x-1)-(x-1)=0
(x-1)(3ax²+3ax-1)=0
定义域(-1,1)
所以x<1,x-1<0
增函数则f'(x)>=0
所以3ax²+3ax-1<=0
3a(x+1/2)²-3a/4-1<=0
-1<x<1
若a=0,则 -1<=0成立

若a>0
则开口向上，对称轴x=-1/2
则x=1离对称轴更远，所以x=1式f'(x)最大
则此时要小于等于0
所以3a+3a-1<=0
a<=1/6
所以0<a<=1/6

若a<0
则开口向下，对称轴x=-1/2
则x=-1/2最大
此时要小于等于0
所以-3a/4-1<=0
a>=-4/3
所以-4/3<=x<0

综上
-4/3<=a<=1/6

Answer 3

当a=1/6时，f(x)=1/2x^4-3x^2+4x,f‘（x)=2x^3-6x+4,另f(x)=o 得x=1或x=-2,f'"（x)=6x^2-6.
当x=-2时，f''(x)>0 ,则于x=-2时有极小值。x=1,f''(x)=o,无极值。
所以f(x)的极小值为f(-2）=4

Answer 4

f(x)=x^4/2-3x²+4x
f'(x)=2x³-6x+4=0
x³-3x+2=0
x³-x²+x²-x-2x+2=0
x²(x-1)+x(x-1)-2(x-1)=0
(x-1)(x²+x-2)=0
(x-1)(x+2)(x-1)=0
(x-1)²(x+2)=0
x=1 或x=-2
f(1)=3/2 f(-2)=-12
(2) f(x)=a²lnx-x²+ax
f'(x)=a²/x-2x+a=0
a²/x=a-2x
2x²-ax-a²=0
(x-a)(2x+a)=0
x=a 或x=-a/2
当x<-a/2 f'(x)>0 函数增
当-a/2<x<0 f'(x)<0 函数减
当0<x<a f'(x)>0 函数增
当x>a f'(x)<0 函数减

Answer 5

1.f(x)的导数为(x-1)^2(x+1),下面就会求了
2.f(x)的导数为2(x+a)(a-x)/x,下面就会求了