Question

设x>0，y>0,且xy(x+y+1)=1，则(x+y)(y+1)的最小值

Answer 1

(x+y)(y+1) = xy + x + y + 1 = xy + 1/(xy)
设xy = k
那么x + y + 1 = 1/k
x + k/x + 1 = l/k
化简得kx^2 + k^2 + (k-1)x =0
判别式为(k-1)^2 - 4k^3 >= 0
利用三次方程的求根公式可以求出k，
利用y=x+1/x在(0,1)内的单调性代入k的值就是最小值了，不过这个值不好计算

Answer 2

1=[(xy)(x＋y＋1)]≤{[(xy)＋(x＋y＋1)]/2}²=(1/4)[(x＋1)(y＋1)]²
[(x＋1)(y＋1)]²≥4
(x＋1)(y＋1)≥2
则：(x＋1)(y＋1)的最小值是2