Question

已知a∈R,函数f(x)=(-x^2+ax)e^x (x∈R,e为自然对数的底数) (1)当a=2时,求函数f(x

已知a∈R,函数f(x)=(-x^2+ax)e^x (x∈R,e为自然对数的底数) (1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间。 （2）若函数f(x)在（-1,1）上单调递增，求a的取值范围

Answer 1

　　解：(1)f（x）’=(-x^2+ax)’e^x+(-x^2+ax)(e^x)’
　　= [-x^2+(a-2)x+a]e^x

　　当a=2时 f（x）’=（-x^2+2）e^x

　　令 f（x）’=0 得 x1=√2 x2= -√2

　　∵ x∈(-∞ ,-√2 ) f（x）’<0 f（x）单调递减
　　 x∈(-√2,√2) f（x）’>0 f（x）单调递增

　　 x∈(√2,+∞) f（x）’<0 f（x）单调递减

　　∴函数f(x)的单调递增区间为 x∈(-√2,√2)

　　（2）f（x）’=[-x^2+(a-2)x+a]e^x

　　∵ 函数f(x)在（-1,1）上单调递增

　　∴ x∈（-1,1） f（x）’≥0 f（x）单调递增

　　∵e^x>0 ∴ x∈（-1,1）[-x^2+(a-2)x+a]≥0

　　
　　设g(x)=-x^2+(a-2)x+a ,则
　　 g(-1)≥0 -1-（a-2）+a≥0
　　 g(1)≥0 -1+（a-2）+a≥0
　　∴a≥3/2

　　∴a的取值范围[3/2,+∞)

Answer 2

f（x）’=（-x^2+ax-2x+a）e^x，对其中一元二次方程△=（a-2）^2+4a=a^2+4恒大于0，所以-x^2+ax-2x+a既有大于0的部分也有小于0的部分，所以函数不是是R上的单调函数

Answer 3

=-=