Question

求微分方程y''+y=x+cosx的通解

Answer 1

y''+y=0的通解是y＝C1sinx+C2cosx，y''+y=x的特解为y＝x，y’‘+y＝cosx的特解设为
y＝x(acosx+bsinx)，于是y'=acosx+bsinx+x(bcosx－asinx)，
y''=2bcosx－2asinx－x(bsinx+acosx)，代入得
2bcosx－2asinx＝cosx，于斯b＝0.5，a＝0，特解是y＝0.5xsinx。
综上，通解是y＝C1sinx+C2cosx+x(0.5sinx+1)。

追问

为什么把y’‘+y＝cosx的特解设为y＝x(acosx+bsinx)设成y＝acosx+bsinx不行吗？

追答

不行。因为cosx是齐次方程的解，这事设为y＝acosx+bsinx代入必得0。
当方程右端项f(x)是齐次方程的解时，设特解时要乘以一个x才行。
这个书上都有介绍吧。