Question

如图，在Rt△ABC中，∠c=90°,D是AB的中点，E，F分别在AC和BC上，且DE⊥DF，求证：EF^2=AE^2+BF^2

求快点，在线等

Answer 1

证明：延长FD，取点G，使DG＝FD，连接EG
∵D是AB的中点
∴AD＝BD
∵DG＝FD，∠ADG＝∠BDF
∴△ADG全等于△BDF
∴AG＝BF，∠DAG＝∠B
∵∠C＝90
∴∠CAB+∠B＝90
∴∠CAB+∠DAG＝90
∴∠EAG＝90
∴EG²＝AE²+AG²
∴EG²＝AE²+BF²
∵DE⊥DF，DF＝DG
∴ED垂直平分GF
∴EF＝EG
∴EF²＝AE²+BF²

Answer 2

作DG⊥BC于G,DH⊥AC于H
设AB=c,AC=b,BC=a,GF=x,
则:CD=AD=BD=c/2
DH=BG=CG=a/2,DG=AH=CH=b/2
△DEH~△DFG,EH=DH*FG/DG=a/2*x/(b/2)=ax/b

AE^2+BF^2=(AH-EH)^2+(BG+GF)^2=(b/2-ax/b)^2+(a/2+x)^2=b^2+a^2x^2/b^2+a^2/4+x^2
EF^2=CE^2+CF^2=(CH+EH)^2+(CG-GF)^2=(b/2+ax/b)^2+(a/2-x)^2=b^2+a^2x^2/b^2+a^2/4+x^2

所以,EF^2=AE^2+BF^2