Question

已知正数数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的正整数n满足 2倍的根号下Sn等于an+1,数列{an}的通项公式为an...

已知正数数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的正整数n满足 2倍的根号下Sn等于an+1,数列{an}的通项公式为an=an-1 + 2,设bn=1/(an乘an+1) ,求数列 {bn}的前n项和Bn?
谢！

Answer 1

题目应有笔误，应该是“设数列{an}各项为正数，前n项和为Sn，且二倍根号下Sn=an+1，（n为一切正整数） （1）求数列{an}通项公式（2）记bn=1/(二倍根号下an+二倍根号下an+1),求数列{bn}的前n项和Tn”吧？
2√S(n)=a(n)+1，得2√a(1)=a(1)+1，解得a(1)=1
并有4S(n)=[a(n)+1]^2，及4S(n+1)=[a(n+1)+1]^2。后者减前者，易得
4a(n+1)=a(n+1)^2+2a(n+1)-a(n)^2-2a(n)
也即a(n+1)^2-2a(n+1)-a(n)^2-2a(n)=0
[a(n+1)+a(n)]*[a(n+1)-a(n)]-2[a(n+1)+a(n)]=0
[a(n+1)+a(n)]*[a(n+1)-a(n)-2]=0
因数列a(n)各项为正，故a(n+1)+a(n)>0，则必有a(n+1)-a(n)-2=0。于是数列a(n)是首项为1，公差为2的等差数列。则a(n)=2n-1
则b(n)=1/[2√a(n)+2√a(n+1)]=1/[2√(2n-1)+2√(2n+1)]=[√(2n+1)-√(2n-1)]/4
则数列{bn}的前n项和Tn=[√(2n+1)-1]/4

Answer 2

题目有误吧