Question

已知a、b、c分别是三角形ABC的三边，试说明：(b^2+c^2-a^2)^2-4b^c^2＜0

题目打错了，应该是：已知a、b、c分别是三角形ABC的三边，试说明：(b²+c²-a²)^2-4b² c²＜0

Answer 1

证明：由余弦定理知：b^2+c^2--a^2=2bccosA
所以 (b^+c^2--a^2)^2--4b^2c^2
=(2bccosA)^2--4b^2c^2
=4b^2c^2(cosaA+1)(cosA--1)
因为 b , c是三角形的边，A是三角形的内角，
所以 b大于0，c大于0，--1小于cosA小于1，
所以 4b^2c^2大于0，cosA+1大于0，cosA--1小于0，
所以 4b^2c^2(cosA+1)(cosA--1)小于0，
即：（b^2+c^2--a^2)^2--4b^2c^2小于0。

Answer 2

(b²+c²-a²)^2-4b² c²=(b²+c²-a²+2bc)（：(b²+c²-a²-2b c）
=（（b+c）²-a²）（（b-c）²-a²）
=（a+b+c）（b+c-a）（b-c+a）（b-c-a）<0
(a、b、c分别是三角形ABC的三边（a+b+c）>0（b+c-a）>0（b-c+a）>0（b-c-a）<0)