Question

用数学归纳法证明：1+1/根号2+1/根号3+....+1/根号<2根号n 求详解

Answer 1

n=1时 1<2√1=2成立
若当n=k时，1+1/√2+...+1/√k<2√k成立
则当n=k+1时，1+1/√2+...+1/√k+1/√(k+1)<2√k+1/√(k+1)
因为2√(k+1)-2√k
=2(√(k+1)-√k)(√(k+1)+√k)/(√(k+1)+√k)
=2/(√(k+1)+√k)
>2/(2√(k+1))
=1/√(k+1)
所以2√(k+1)>2√k+1/√(k+1)>1+1/√2+...+1/√(k+1)，得证

Answer 2

用缩放说 f(n)=1+1/2+1/3+...+1/(2^n)-1-n/2 g(n)=1+1/2+1/3+...+1/(2^n)-1/2-n f(1)=1+1/2-1-1/2=0 若f(n)≥0 f(n+1)=1+1/2+1/3+...+1/(2^n)-1-n/2+1+n/2-1-(n+1)/2+1/(2^n +1)+…1/2^(n +1) 而f(n)≥0 1/(2^n +1)+…1/2^(n +1) ≥[2^(n+1)-2^n-1+1]/2^(n+1)=1/2 f(n+1)≥0