Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AD=x，过点C作CE⊥CD，交AB的延长线于点E，联结DE

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AD=x，过点C作CE⊥CD，交AB的延长线于点E，联结DE交BC于点F
（1）当BE=AB时，求证：△DCE∽△EBC
（2）设BE=y，求y关于x的函数解析式及定义域
（3）当△CFD是等腰三角形时，求x的值
详细过程和答案

Answer 1

（1）过点D做DH⊥BC于H
∵DH⊥BC∴∠DHC=90°
∵∠ABC=90°∴DH∥BC（同位角相等，两直线平行）
∵AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形∴DH=AB=3
∵BE=AB∴DH=BE
∵∠BFE=∠DFH（对顶角相等），∠EBC=90°，∠GHB=90°（平角的意义)
∴Rt△EBF≌Rt△DHF（A,A,S)∴EF=DF（全等三角形的意义）∴点F是DE的中点
∵DC⊥CE∴∠DCF=90°∴CF=DF=EF=½CD（直角三角形的斜边上的中线的意义）
∴∠DFC=∠DCF（等边对等角）∵∠EBC=∠DCE=90°
∴△DCE∽△EBC
2）∵∠DCB+∠BCE=90°，∠HDC+∠DCB=90°∴∠HDC=∠BCE
又∵∠DHC=∠EBC=90°∴△DHC∽△CBE∴CH/BE=DH/CB
∵在平行四边形ABCD中，BH=AD=X,DH=AB=3
又∵BC=4，BE=y∴CH=¾y
∵BH+CH=BC
x+¾y=4
y=16/3-4x/3 (0<x<4)
3)
(1)若DF=FC
∵DF=FC∴∠EDC=BCD（等边对等角）
∵∠DEC+∠EDC=90°，∠DCB+∠BCE=90°
∴∠DEC=∠BCE∴EF=CF（等角对等边）
∴CF是DE上的中线
∴y=3（由题（1）可知）∴x+3y/4=4,x=7/4
(2)若DF=DC
∵DF=DC∴DH是FC上的高，中线，角平分线（三线合一）
∴FH=CH=¾y
∴BF=BC-2CH=4-1.5y
∵BF∥AD∴BF/AD=BE/AE∴BF*AE=AD*BE
∴（4-1.5y）*（3+y)=x*y
把x=4-¾y代入上式
12-4.5y+4y-1.5y^2=4y-¾y
¾y^2+4.5y-12=0
y^2+6y-16=0
(y+8)(y-2)=0
y=-8（舍去）或y=2
x=4-3/2=2.5
(3)若DC=FC
∵△DHC∽△CBE（已证）∴CD/EC=DH/CB∴CD/5=3/4,CD=15/4
∴FC=CD=15/4∴BF=1/4
∵BF∥AD∴BF/AD=BE/AE∴BF*AE=AD*BE
（y+3)/4=xy
把x=4-¾y代入上式
y+3=4(4-¾y)y
y^2-5y+1=0
△=21
∴y1=（5+21^0.5）/2,x1=(17-3*21^0.5)/8
y2=（5-21^0.5）/2,x2=(17+3*21^0.5)/8
综上所述，x=7/4，2.5，(17-3*21^0.5)/8，(17+3*21^0.5)/8
以上都是我自己做的，应该没有错误。希望及时给分，对我很紧急，O(∩_∩)O~