Question

在平面直角坐标系XOY中，若二次函数f(x)=x^2+2x+b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，（转问题补充）

且经过三的交点的圆记为C。
（1）求实数b的取值范围 b<1且b≠0
（2）求圆C的方程 x^2+y^2+2x-(b+1)y+b=0
(3)圆C是否经过定点（其坐标与b的值无关)?请证明你的结论。

注：（1）、（2)题答案已给出，只需算第三题。
事实上，我就第三题不会==

Answer 1

解：．（1）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；
令f（x）=x²+2x+b=0，由题意b≠0且△＞0，解得b＜1且b≠0．
（2）设所求圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
令y=0得x²+Dx+F=0这与x²+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b．
令x=0得y²+Ey+F=0，方程有一个根为b，代入得出E=-b-1．
所以圆C的方程为x²+y²+2x-（b+1）y+b=0．
（3）圆C必过定点，证明如下：
假设圆C过定点（x0，y0）（x0，y0不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，
并变形为x0²+y0²+2x0-y0+b（1-y0）=0（*）
为使（*）式对所有满足b＜1（b≠0）的b都成立，必须有1-y0=0，结合（*）式得
x0²+y0²+2x0-y0=0，
解得
{x0=0
y0=1
或{x0=-2
y0=1

PS 无论x0还是y0 0都要比xy写的小 就像x1 y1一样.

解题方法
（1）由题意知，由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b不等于0，然后抛物线与x轴有两个交点即令f（x）=0的根的判别式大于0即可求出b的范围；
（2）设出圆的一般式方程，根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知：令y=0得到与f（x）=0一样的方程；令x=0得到方程有一个根是b即可求出圆的方程；
（3）设圆的方程过定点（x0，y0），将其代入圆的方程得x0²+y0²+2x0-y0+b（1-y0）=0，因为x0，y0不依赖于b得取值，所以得到1-y0=0即y0=1，代入x0²+y0²+2x0-y0=0中即可求出定点的坐标．

Answer 2

（1）由题意知，由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b不等于0，然后抛物线与x轴有两个交点即令f（x）=0的根的判别式大于0即可求出b的范围；
（2）设出圆的一般式方程，根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知：令y=0得到与f（x）=0一样的方程；令x=0得到方程有一个根是b即可求出圆的方程；
（3）设圆的方程过定点（x0，y0），将其代入圆的方程得x02+y02+2x0-y0+b（1-y0）=0，因为x0，y0不依赖于b得取值，所以得到1-y0=0即y0=1，代入x02+y02+2x0-y0=0中即可求出定点的坐标．
解：
（1）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；
令f（x）=x2+2x+b=0，由题意b≠0且△＞0，解得b＜1且b≠0．
（2）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
令y=0得x2+Dx+F=0这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b．
令x=0得y2+Ey+F=0，方程有一个根为b，代入得出E=-b-1．
所以圆C的方程为x2+y2+2x-（b+1）y+b=0．
（3）圆C必过定点，证明如下：
假设圆C过定点（x0，y0）（x0，y0不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，
并变形为x02+y02+2x0-y0+b（1-y0）=0（*）
为使（*）式对所有满足b＜1（b≠0）的b都成立，必须有1-y0=0，结合（*）式得x02+y02+2x0-y0=0，解得{x0=0y0=1或{x0=-2y0=1
经检验知，点（0，1），（-2，1）均在圆C上，因此圆C过定点．