Question

[数学-矩阵理论]一个线性变换的问题

设V是数域F上的n阶矩阵全体，σ是将V中任意元素的严格下三角部分变为0的映射，判断σ是否为V的线性变换。如是，请证明；如否，请举出反例。

Answer 1

是。对任意的矩阵A，B，和任意的数k，变换a满足
a(A+B)=(A+B)的严格下三角部分变为0
＝A的严格下三角部分变为0+B的严格下三角部分变为0＝a(A)+a(B)
a(kA)=(kA)的严格下三角部分变为0＝k倍的（A的严格下三角部分变为0）＝ka(A)。
满足线性变换的定义。