Question

如图,在锐角三角形ABC中,AB=4√5,∠BAC=45°,∠BAC的平分线的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点，

则BM+MN最小值是多少

Answer 1

在AC上取一点E，使得：AE = AN ，连接ME、BE。

在△AME和△AMN中，AE = AN ，∠MAE = ∠MAN ，AM是公共边，

所以，△AME ≌ △AMN ，可得：ME = MN 。

BM+MN = BM+ME ≤ BE ，

当B、M、E三点共线时，BM+MN 有最小值等于 BE 。

点E在AC上，BE的最小值等于点B到AC的距离，

当BE⊥AC于E时，BE有最小值为：AB·sin∠BAC =4√5/√2=2√10 。

所以，BM+MN的最小值是2√10。

在AC线上取一点E使AE=AB.自E点向AB作垂线交AD于F、交AB于G;自M点向EG作垂线垂足为H.连接BE、BF、EM.

ABE为等腰三角形，AD为∠A的平分线，则AD必为BE的垂直平分线，故BF=EF、 BM=EM。

当动点M不与F点重合时，BM=EM＞EH、 MN≥HG,则BM+MN＞EH+HG=EG;

当M点与F点重合、N点与G点重合时，BM+MN=EF+FG=EG.

故知：BM+MN≥EG.

AEG为直角等腰三角形，所以EG=AE/√2=4√5/√2=2√10.

得BM+MN≥2√10，即BM+MN的最小值是2√10

如图，在AC上截取AE=AN，连接BE．

因为∠BAC的平分线交BC于点D，

所以∠EAM=∠NAM，

又因为AM=BM，

所以△AME≌△AMN，

所以ME=MN．

所以BM+MN=BM+ME≥BE．

因为BM+MN有最小值．

当BE是点B到直线AC的距离时，

BE取最小值为2√10，

所以BM+MN的最小值是2√10．

点评：本题考查易错易混点：解此题是受角平分线启发，能够通过构造全等三角形，把BM+MN进行转化，但是转化后没有办法把两个线段的和的最小值转化为点到直线的距离而导致错误．

Answer 2

看我的