Question

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率1/2,以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+根号6=0相切

过点P（4,0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A,B两点，
（1）求椭圆C的方程
（2）求OA向量乘OB向量的取值范围

Answer 1

（1）以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+√6=0相切,
∴b=√6/√2=√3，
c/a=1/2,
∴a^2=4c^2=4(a^2-b^2)=4(a^2-3),
解得a^2=4,
∴椭圆C的方程为x^2/4+y^2/3=1.
(2)设AB:x=my+4,m≠0，
代入上式得3（m^2y^2+8my+16)+4y^2=12,
(3m^2+4)y^2+24my+36=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
y1+y2=-24m/(3m^2+4),y1y2=36/(3m^2+4),
x1x2=(my1+4)(my2+4)=m^2y1y2+4m(y1+y2)+16,
向量OA*OB=x1x2+y1y2=(m^2+1)y1y2+4m(y1+y2)+16
=[36(m^2+1)-96m^2+16(3m^2+4)]/(3m^2+4)
=[-12m^2+100]/(3m^2+4)
=-4+116/(3m^2+4),
它的取值范围是[-4,25).

Answer 2

（1）以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+√6=0相切,
∴b=√6/√2=√3，
c/a=1/2,
∴a^2=4c^2=4(a^2-b^2)=4(a^2-3),
解得a^2=4,
∴椭圆C的方程为x^2/4+y^2/3=1.
(2)设AB:x=my+4,m≠0，
代入上式得3（m^2y^2+8my+16)+4y^2=12,
(3m^2+4)y^2+24my+36=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
y1+y2=-24m/(3m^2+4),y1y2=36/(3m^2+4),
x1x2=(my1+4)(my2+4)=m^2y1y2+4m(y1+y2)+16,
向量OA*OB=x1x2+y1y2=(m^2+1)y1y2+4m(y1+y2)+16
=[36(m^2+1)-96m^2+16(3m^2+4)]/(3m^2+4)
=[-12m^2+100]/(3m^2+4)
=-4+116/(3m^2+4),
取值范围[-4,13/4).

Answer 3

buzhidao