Question

盐城市2012届高三数学第2次模拟考试的第18题的第3问，求解具体的方法（要设而不求法）谢谢

Answer 1

椭圆的方程求出来是x^2 + 2y^2 =1
设AD：y=K1(x+1) D点坐标设为（X1，Y1）
AE：y=K2(x+1) E点坐标设为（X2，Y2）
将直线AD与椭圆方程联立
y=K1(x+1)
x^2 + 2y^2 =1
化简得到方程：
（2K1^2 +1 ）x^2 + 4K1^2 x + 2K1^2 -1 =0 ………………………………（*）
∵这条直线与椭圆的交点为A与D
在方程（*）中应用两根之积公式
（-1）* X1 = （ 2K1^2 -1 ）/（2K1^2 +1 ）
得到X1=（ 1-2K1^2 ）/（2K1^2 +1 ） …………………………………… ①
Y1=K1(X1+1) = 2K1/（2K1^2 +1 ）…………………………………… ②
类似的，可以写出
X2=（ 1-2K2^2 ）/（2K2^2 +1 ）
Y2= 2K2/（2K2^2 +1 ）
∵K1*K2=2，将其代入上式得到
X2=（ K1^2 - 8 ）/（K1^2 +8 ）…………………………………………… ③
Y2= 4K1/（K1^2 +8 ）……………………………………………………… ④

接下来用设而不求法求直线DE的斜率 记为1/m
∵D与E点均在椭圆上
∴X1^2 + 2Y1^2 =1
X2^2 + 2Y2^2 =1
将两式相减整理得到 (Y2-Y1)/(X2-X1)= - (X1+X2)/(2Y1+2Y2)
∴1/m= - (X1+X2)/(2Y1+2Y2)
m= -(2Y1+2Y2)/(X1+X2) ………………………………………………⑤

再设直线DE的方程为 x=my + n (注意，之前设DE的斜率为1/m，这里设的形式为变式斜截式）
∵D点在该直线上
∴X1=mY1 + n
∴n=mY1 - X1
将以上①②③④⑤全部代入化简可以得到n= - 5/3
∴DE恒过定点（-5/3 ，0）