Question

如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，求证：BC2=2AC•CD． （要求用三种方法解题）

Answer 1

不好意思刚在看电影，解：可以做AE垂直于BC，那么ACE相似BCD CE/CD=AC/BC 因为角AEB=角AEC=90度 AE=AE AB=AC 所以三角形ABE全等于ACE（HL) 那么BE=EC EC=1/2BC 所以BC2=2AC•CD

追问

你能解释下楼上同胞的回答吗？她太不给力了~~

即CE•BC=CD•AC．
从而得：BC 2 =2AC•CD．
为什么？增么变过来的？（第二幅图）
△BCE∽△ACB．（第三幅图）
这两个三角形相似的原因是什么？

得BC/AC=CE/BC=2CD/BC
从而BC 2 =2AC•CD． （第三幅图）
这两个式子增么变过来的？

追答

这两个三角形相似的原因是△BCE∽△ACB 在DA上截取DE=DC，角C=角C 角C=角BEC=角B 所以△BCE∽△ACB （两个角相等的三角形为相似三角形）应该没记错 得BC/AC=CE/BC=2CD/BC
所以BC2=2AC•CD 图会不会画丫

Answer 2

证明：
延长CA到E，CA=AE，
则有∵AB=AC，∴AB=12CE．
∴△CBE是直角三角形．
∴∠CBE是直角（一边上的中线等于这一边长的一半的三角形是直角三角形）．
∴△BCD∽△ECB．
∴BC2=EC•CD=2AC•CD．

作AE⊥BC于E，
则有△ACE∽△BCD．
得CECD=ACBC．
即CE•BC=CD•AC．
从而得：BC2=2AC•CD．

在DA上截取DE=DC，
则有△BCE∽△ACB．
得BCAC=CEBC=2CDBC．
从而BC2=2AC•CD．

追问

即CE•BC=CD•AC．
从而得：BC 2 =2AC•CD．
为什么？增么变过来的？（第二幅图）
△BCE∽△ACB．（第三幅图）
这两个三角形相似的原因是什么？

得BC/AC=CE/BC=2CD/BC
从而BC 2 =2AC•CD． （第三幅图）
这两个式子增么变过来的？

追答

你根据相似三角形定理还有直角三角形得到啊

追问

我要具体的理由！

追答

第二幅图
AE是等腰三角形底边上的高，也是底边的中线
CE=1/2BC
CE•BC=CD•AC
1/2BC^2 =AC•CD
BC^2 =2AC•CD

第三幅图
等腰对等角
BD是三角形BCE的中线,又是高可以证明三角形BCE是等腰三角形
两个等腰三角形的底角相同,所以相似
两三角形相似对应边成比例
作图就是DE=DC
D是CE的中点,CE=2CD

追问

BC/AC=CE/BC=2CD/BC
从而BC 2 =2AC•CD． （第三幅图）
这两个式子增么变过来的？我问的是这两个式子的变换，不是怎样由BC/AC=2CD/BC
还有就是，△BCE∽△ACB．（第三幅图）
这两个三角形相似，到底是哪个边和哪个边成比例，或哪个角等于那个角，请再具体点。（我会追加的，再次麻烦实在不好意思了）

追答

第三幅图
在AC上作DE=DC,
又BD⊥EC,BD=BD
∴△BCD≌△BDE
∴∠C=∠CEB
∵AB=AC
∴∠C=∠CBA
∴△BCE∽△ACB【三角形中有两个内角相等,两三角形相似】