Question

已知a,b,c为三角形ABC的三边，且满足（a+b+c)^2=3（a^2+b^2+c^2)，是说明三角形ABC的形状。

为什么，并写好理由。

Answer 1

a²＋b²＋c²＋2ab＋2bc＋2ac=3a²＋3b²＋3c²
2a²＋2b²＋2c²－2ab－2bc－2ac=0
(a²－2ab＋b²)＋(b²－2bc＋c²)＋(c²－2ac＋a²)=0
(a－b)²＋(b－c)²＋(c－a)²=0
a=b=c
为等边三角形。

Answer 2

展开，得：
a²＋b²＋c²＋2ab＋2bc＋2ac=3a²＋3b²＋3c²
2a²＋2b²＋2c²－2ab－2bc－2ac=0
(a²－2ab＋b²)＋(b²－2bc＋c²)＋(c²－2ac＋a²)=0
(a－b)²＋(b－c)²＋(c－a)²=0
则：a=bc=
此三角形为等边三角形。

Answer 3

a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3a^2+3b^2+3c^2
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0
(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
平方大于等于0，相加等于0，若有一个大于0，则至少有一个小于0，不成立。
所以三个都等于0
所以a-b=0,b-c=0,c-a=0
a=b,b=c，c=a
所以a=b=c
所以是等边三角形

Answer 4

3(a^2+b^2+c^2)=a^2+b^2+c^2+2ac+2bc+2ca
2(a^2+b^2+c^2)-(2ac+2bc+2ca)=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
a=b=c所以是等边三角形

Answer 5

（a+b+c)^2=3（a^2+b^2+c^2)
a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=2(a^2+b^2+c^2)-2ab-2ac-2bc=2(ab+bc+ac)-)-2ab-2ac-2bc=0
所以a=b.b=c.a=c
即a=b=c
所以为等边三角形