Question

某双星系统中两颗恒星围绕他们连线上的某点分别做匀速圆周，周期均为T，恒星间距离为r。

求总质量
请详细一点，谢谢~！

Answer 1

设这两颗恒星的质量各为M1、M2，它们做圆周运动的圆心到M1的距离是 r1，到M2的距离是 r2
则　r1＋r2＝r
由于它们相互间的万有引力提供为它们所需的向心力，所以
F向＝M1* ( 2π / T )^2* r1＝M2* ( 2π / T )^2* r2
得　M1 / M2＝r2 / r1
(M1＋M2) / M2＝( r1＋r2 ) / r1
(M1＋M2) / M2＝r / r1
(M1＋M2) / r ＝M2 / r1

又由万有引力定律　知　F向＝F万＝G*M1*M2 / r^2
即　G*M1*M2 / r^2＝M1* ( 2π / T )^2* r1
得　M2 / r1 ＝( 2π / T )^2*r^2 / G

所以，(M1＋M2) / r ＝( 2π / T )^2*r^2 / G
得这两颗恒星的质量之和（总质量）为　M总＝M1＋M2＝( 2π / T )^2*r^3 / G

Answer 2

由周期求角速度：T=2π/ω
两星向心力相等（作用力与反作用力）：m1×ω²×r1=(M-m1)×ω²×(r-r1)
星2受引力产生的加速度等于其向心加速度：G×m1/r²=ω²×(r-r1)
解得：
ω=2π/T
m1=4π²r²(r-r1)/(GT²)
M=4π²r³/(GT²)