Question

已知数列1/(1*2),1/(2*3),1/(3*4),...,1/<n*(n+1)>,...,猜想Sn的表达式，并证明

已知数列1/(1*2),1/(2*3),1/(3*4),...,1/<n*(n+1)>,...,猜想Sn的表达式，并证明（归纳法）

Answer 1

猜想：Sn=n/(n+1)
证：
n=1时，S1=1/(1×2)=1/2=1/(1+1)，猜想的表达式成立。
假设当n=k(k∈N，且k≥1)时，表达式成立，即Sk=k/(k+1)，则当n=k+1时，
S(k+1)=1/(1×2)+1/(2×3)+...+1/[k(k+1)]+1/[(k+1)(k+2)]
=Sk+1/[(k+1)(k+2)]
=k/(k+1)+1/[(k+1)(k+2)]
=[k(k+2)+1]/[(k+1)(k+2)]
=(k²+2k+1)/[(k+1)(k+2)]
=(k+1)²/[(k+1)(k+2)]
=(k+1)/(k+2)
=(k+1)/[(k+1)+1]
表达式同样成立。
综上，得Sn的表达式为Sn=n/(n+1)。

追问

麻烦说下如何进行猜想吧

追答

前面从略了。可以求S1、S2、S3，然后总结出表达式。不想写了，你自己写一下就可以了。