Question

已知函数f(x)对任意x都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称,且f(4)=4，则f(2012)=这道会么

Answer 1

y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称，则y=f(x)的图象关于原点(0,0)对称，即f(x)是奇函数。
在f(x+6)+f(x)=2f(3)中，取x=-3，则f(3)+f(-3)=f(3)-f(3)=0=2f(3)，即f(3)=0。
所以，f(x+6)=-f(x)，即f(x+12)=-f(x+6)=f(x)，f(x)是周期为12的周期函数。
2012=168*12-4。
所以f(2012)=f(-4)=-f(4)=-4。

Answer 2

f(x+12)+f(x+6)=2f(3)
f(x+12)+f(x+6)=f(x+6)+f(x)
f(x+12)=f(x)
f(2012)=f(-4)
因为y=f(x-1)关于（1,0）对称，所以y=f(x)关于（0,0）对称
f(-4)=f(4)=4
f(2012)=4