Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SA垂直于面ABCD，二面角S-CD-A的平面角为45度，M为AB中点，N为SC

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SA垂直于面ABCD，二面角S-CD-A的平面角为45度，M为AB中点，N为SC中点
（1证明MN平行于面SAD（2 证明面SMC垂直于面SCD（3 记CD∕AD=λ，求实数λ的值，是的直线SM与平面SCD所成的角为30度

Answer 1

证明：（1）取SD中点E，连接AE，NE，
则，
∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE…（1分）
又∵MN⊄平面SAD…（3分）
（2）∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥CD，∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥CD，
又∵SA∩AD=A，∴CD⊥平面SAD，∴CD⊥SD∴∠SDA即为二面角S-CD-A的平面角，
即∠SDA=45°…（5分）∴△SAD为等腰直角三角形，∴AE⊥SD∵CD⊥平面SAD，∴CD⊥AE，
又SD∩CD=D，∴AE⊥平面SCD∵MN∥AE，∴MN⊥平面SCD，∵MN⊂平面SMC，∴平面SMC⊥平面SCD…（8分）
（3）∵，设AD=SA=a，则CD=λa
由（2）可得MN⊥平面SCD，∴SN即为SM在平面SCD内的射影∴∠MSN即为直线SM与平面SCD所成角，
即∠MSN=30°…（9分）
而MN=AE=，∴Rt△SAM中，，而，∴Rt△SAM中，由得，解得λ=2
当λ=2时，直线SM与平面SCD所成角为30°（14分）