Question

1+1/2-2/3+3/4-......+(n-1)/n,当n=1000时表达式的值为多少？

Answer 1

1+1/2+1/3+...+1/n=ln(n+1)+r.......................1式

原式=1+1/2+(1/3-1)+(1-1/4)+...+(1-1/n)
=1+1/2+1/3-1/4+...-1/n
设1+1/2+1/3-1/4+...-1/n=x..........................2式

当n=1000时
1式-2式，得：
2/4+2/6+2/8+...+2/1000=ln1001+r-x
即：1/2+1/3+...+1/500=ln1001+r-x
ln501+r-1=ln1001+r-x
x=ln1001-ln501+1

Answer 2

由4s(n+1)=3sn+1
推得，4s(n+2)=3s(n+1)+1
两式相减，4[s(n+2)-s(n+1)]=3[s(n+1)-sn]
s(n+2)=s(n+1)+a(n+2)
s(n+1)=sn+a(n+1)
故4a(n+2)=3a(n+1)恒成立，即a(n+2)/a(n+1)=3/4
n∈n*
故自a2起，an为公比为3/4的等比数列。
求a2：4s2=3s1+1=3a1+1
4(a1+a2)=3a1+1
4(2+a2)=3*2+1
a2=-1/4
{an}的通项公式为a1=2，an=(-1/4)(3/4)^(n-2)
n≥2时。
sn的表达式：
s1=2，sn=2+(-1/4)[1-(3/4)^(n-1)]/(1-3/4)=2+(3/4)^(n-1)-1=1+(3/4)^(n-1)
n≥2时.

希望表达清楚了^o^