Question

已知函数f（x）=lg1+x/1-x （1）求函数的定义域 是（-1,1） （2）判断奇偶性，并给予证明（3）判断单调性

最终答案我都知道 求过程

Answer 1

f（x）=lg(1+x)/(1-x)
(1+x)/(1-x)>0
(x-1)(x+1)<0
得
-1<x<1
所以定义域为 （-1,1）

奇函数
证明：
f(-x)=lg[(1-x)/(1+x)]
=lg[(1+x)/(1-x)]^(-1)
=-lg[(1+x)/(1-x)]
=-f(x)
所以 是奇函数

单调性：
f(x)=lg[(1+x)/(1-x)]
=lg[-1+2/(1-x)]
函数 y=lgt是单调递增的
因为 t=-1+2/(1-x)
在 (-1,1)上 是 单调递增的
所以函数 f(x)在定义域(-1,1)上是单调递增的

复合函数：
同增则增
同减则增
一增一减，则复合函数为减

Answer 2

1. 定义域 (1+x)/(1-x)>0 (1+x)(1-x)>0 (x+1)(x-1)<0 所以 -1<x<1
2. f(-x)=lg(1-x)/(1+x)=lg[(1+x)/(1-x)]^(-1)=-lg(1+x)/(1-x)=-f(x) 奇函数
3. 设-1<x1<x2<1
f(x1)=lg(1+x1)/(1-x1)
f(x2)=lg(1+x2)/(1-x2)
f(x2)-f(x1)
=lg(1+x2)/(1-x2)-lg(1+x1)/(1-x1)
=lg[(1+x2)(1-x1)/(1-x2)(1+x1)]
=lg[(1+x2-x1-x1x2)/(1-x2+x1-x1x2)]
=lg[(1+(x2-x1)-x1x2)/(1-(x2-x1)-x1x2)]
因为 x1<x2 x2-x1>0
所以
1+(x2-x1)-x1x2>1-(x2-x1)-x1x2
所以[(1+(x2-x1)-x1x2)/(1-(x2-x1)-x1x2)]>1
所以lg[(1+(x2-x1)-x1x2)/(1-(x2-x1)-x1x2)]>0
f(x2)>f(x1)
增函数