Question

如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，P是△ABC内的任意一点，过点P做EF∥AB分别交AC、BC、于点E、F。

作GH∥BC分别交AB、AC于点G、H，作MN∥AC分别交AB、BC于点M、N。试猜想：EF+GH+MN的值是多少？其值是否随点P位置的改变而变化？并说明你的理由。

Answer 1

http://wapiknow.baidu.com/question/268884335.html

EF+GH+MN=8cm，其值不随点P位置的改变而改变。由于等边三角形内的三条线都是与三条边分别平行的线，可知△GMP、△PEH、△FPN和△ABC是相似三角形。因此，那三个小三角形都是等边三角形,其中三个四边形都是平行四边形，i然后很容易的就得到MP+PE+PN=AC=4cm,PG+PF+PH=BC=4cm.

追问

对不起哈，我还只是初二的，可不可以用初二的方法来解？拜托了！！

追答

初二有点遥远了，数学知识点都搞混了，我都不知道哪些才是初二范围内的....

由三组平行线可得三个小三角形的九个角都是60度（两平行线跟一条直线的夹角相等），可得三个小三角形都是等边三角形。平行四边形应该学过吧，后面的方法与上面一样。

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．

∵GH‖BC，∴∠AGH＝∠B＝60°，∠AHG＝∠C=60°．

∴△AGH是等边三角形，∴GH=AG=AM+MG ①

同理△BMN是等边三角形，∴MN＝MB＝MG+GB. ②

∵MN‖AC，EF‖AB，

∴四边形AMPF是平行四边形，∴PE＝AM

同理可证四边形BFPG是平行四边形，∴PF＝GB．

∴EF=PE+PF＝AM+GB． ③

①+②+③得

EF+GH+MN=AM+GB+MG+GB+AM+MG=2(AM+MG+GB)=2AB=8cm．

Answer 2

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
∵GH‖BC，
∴∠AGH＝∠B＝60°，∠AHG＝∠C=60°．
∴△AGH是等边三角形
∴GH=AG=AM+MG ①
同理△BMN是等边三角形，∴MN＝MB＝MG+GB. ②
∵MN‖AC，EF‖AB，
∴四边形AMPF是平行四边形
∴PE＝AM
同理可证四边形BFPG是平行四边形，∴PF＝GB．
∴EF=PE+PF＝AM+GB． ③
①+②+③得
EF+GH+MN=AM+GB+MG+GB+AM+MG=2(AM+MG+GB)=2AB=8cm．