Question

一个线性代数题，关于矩阵

设n阶矩阵A满足3A（A-E<n>)=A^3.证明E<n>-A的逆矩阵为（E<n>-A)^2 我这里用<>表示下标，^表示上标，该如何解这道题呢？

Answer 1

(E<n>-A) (E<n>-A)^2
=(E<n>-A)^3
=A^3-3A^2+3A+E<n>
但：
3A（A-E<n>)=A^3
即3A^2-3A=A^3
代入可得
(E<n>-A) (E<n>-A)^2
=3A^2-3A-3A^2+3A+E<n>
=E<n>
即E<n>-A的逆矩阵为（E<n>-A)^2

Answer 2

事先声明我省去下标n,
3A(A-E)=A^3,则-3A+3A^2-A^3=0,E^3-3AE^2+3A^2E-A^3=E,(E-A)^2(E-A)=E,则命题得证．