Question

在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,AB⊥BC,AB=BC=1，DC=2,点E在PB上。（1）求证：平面AEC⊥平面PAD

Answer 1

证明：在平面ABCD上，作AH⊥BC，垂足H，

∵〈ABC=90°，AB//CD，

∴四边形ABCD是梯形，

∵AH⊥BC，

∴四边形ABCH是矩形，

∴HC=AB=1，AC=√2，

∴DH=DC-CH=1，

∴AH是线段DC的垂直平分线，

∴AD=AC=√2，

∴根据勾股定理逆定理，

∴△ADC是等腰RT△，

∴CA⊥AD，

∵PA⊥平面ABCD，

AC∈平面ABCD，

∴PA⊥AC，

∵PA∩AD=A，

∴AC⊥平面PAD，

∵AC∈平面AEC，

∴平面AEC⊥平面PAD。