Question

高中立体几何问题。

已知点A、B、C在球心为O的球面上,△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c
且a^2=b^2+c^2+bc ， a=sqrt（3），球心O到截面ABC的距离为sqrt(2) 则球的表面积为

Answer 1

分析：根据书籍左中点A、B、C在球心为O的球面上，△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且a^2=b^2+c^2+bc，a=√3，我们可以根据余弦定理和正弦定理，求出△ABC的外接圆（截面圆）的半径，进而结合球心O到截面ABC的距离为√2，我们可以求出球半径，代入球的表面积公式，即可求出答案．
解答：
解：由已知中a^2=b^2+c^2+bc，
易得cos∠A=(b^2+c^2-a^2)/2bc=-1/2
则∠A=2π/3
则sin∠A=√3/2
则△ABC的外接圆半径有：2r=a/sinA=2
即△ABC的外接圆半径r=1
又∵球心O到截面ABC的距离为√2
故球的半径为R=√3
则该球的表面积S=4•π•R^2=12π
故答案为：12π

追问

知道A=120°了怎么求r

追答

这里∠A本来就是120度呀，你看sin∠A=√3/2=sin120°，所以∠A=120°
前面a=√3，则△ABC的外接圆半径有：2r=a/sinA=,√3/sin120=2
即△ABC的外接圆半径r=1

追问

我不知道为什么2r=a/sinA 。 我基础不好- - 是正弦定理么。。

追答

是正弦定理
【正弦定理】a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r (r为三角形外接圆半径)

追问

我只只知道a/sinA=b/sinB=c/sinC 居然后面还等于2r 是怎么推导的阿- -？

追答

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 　
　如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 　　
作直径BD交⊙O于D. 　连接DA. 　
因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度 　　
因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D=∠ACB. 　　
所以c/sinC=c/sinD=BD=2r