Question

已知函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx且f'(-1)=0

已知函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx且f'(-1)=0 ，
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）求f(x)的单调区间
（3）令a=-1，设函数f(x)在x1,x2（x1<x2）处取得极值，记点M（x1，f(x1）），N（x2，f(x2)）,证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M、N的公共点

Answer 1

(1)
∵f(x)=x³/3+ax²+bx
∴f'(x)=x²+2ax+b
∵f'(-1)=0
∴0=(-1)²-2a+b
∴b=2a-1
(2)
∵ b=2a-1
∴f(x)=x³/3+ax²+bx
=x³/3+ax²+(2a-1)x
f'(x)=x²+2ax+b
=x²+2ax+2a-1
=(x+2a-1)(x+1)
∴驻点为：x1=-1,x2=1-2a
①a<1，1-2a>-1,两个驻点。
x<-1或x>1-2a时，f'(x)>0,f(x)是增函数；
-1<x<1-2a时，f'(x)<o,f(x)是减函数。
即：x∈(-∞,-1)∪(1-2a，+∞)时，f(x)是单调增加的；
x∈(-1,1-2a)时，f(x)是单调减小的。
②a=1,1-2a=-1,一个驻点。
∵f'(x)=(x+1)²≧0
∴x∈(-∞,+∞),f(x)是单增函数。
③a>1，1-2a<-1,两个驻点。
x<1-2a或x>-1时，f'(x)>0,f(x)是增函数；
1-2a<x<-1时，f'(x)<o,f(x)是减函数。
即：x∈(-∞,1-2a)∪(-1,+∞)时，f(x)是单调增加的；
x∈(1-2a,-1)时，f(x)是单调减小的。
(3).
∵a=-1
∴f(x)=x³/3+ax²+(2a-1)x=x³/3-x²-3x
f'(x)=(x+2a-1)(x+1)=(x-3)(x+1)
∴f(1)=1/3-1-3=-11/3
即P(1，-11/3)点在f(x)曲线上。
∵f(x)在x1,x2（x1<x2）处取得极值
∴x1=-1,x2=3
∵f(-1)=-1/3-1+3=5/3
f(3)=3³/3-3²-3×3=-9
∴M(-1,5/3),N(3,-9)
∵直线PN的斜率Kp=(-11/3+9)/(1-3)=-8/3
直线MN的斜率Km=(5/3+9)/(-1-3)=-8/3
∴Kp=Km
∴M,N,P三点共线。
即：曲线f(x)上的P点也在直线MN上。
∵P点的横坐标介于M和N横坐标之间
∴P点在线段MN上
即线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点P(1，-11/3).

Answer 2

f'(x)=x^2+2ax+b ===>f'(-1)=1-2a+b=0 =>b=2a-1