Question

在四边形ABCD中，AB＝CD,M.N.P.Q分别是AD.BC.BD.AC的中点，求证：MN与PQ互相平分

Answer 1

解，连接MQ,QN,NP,PM.只需证明MQNP是一个菱形就可以了，在△ACD中，MQ是中位线，∴MQ∥CD,且MQ=1/2CD,同理，在△BCD中，PN是中位线，∴PN∥CD,PN=1/2CD,∴MQ∥PN,MQ=PN.∴MQNP是一个平行四边形，∵在△ABD中，MP是中位线，∴MP=1/2AB,∵AB=CD,∴MP=MQ,∴MQNP是一个菱形，∴MN与PQ互相平分。

Answer 2

解：联结MP、NQ，设MN与PQ的交点为O
由三角形中位线定理，在三角形DAB中，MP//=0.5AB
在三角形CAB中，NQ//=0.5AB
所以，MP//=NQ
则有角MPO=角NQO,角PMO=角QNO
对于三角形MPO和三角形NQO，有二角夹一边相等
可证：三角形MPO和三角形NQO全等
所以，PO=OQ,MO=ON
即得MN与PQ互相平分