Question

导数问题 急

函数g(x)=ax^3+2(1-a)x^2-3ax在区间(-无穷,a/3)内单调递减,则a的取值范围是?

Answer 1

g(x)在(-∞,a/3)上单调递减，说明在这个区间上函数的导数都是小于等于零的，也就是说，在这个区间上，导函数g'(x)的最大值小于等于零。
g(x) = ax³ + 2(1 - a)x² - 3ax
g'(x) = 3ax² + 4(1 - a)x - 3a = 3a[ x + 2(1-a)/3a ]² - 3a - 4(1 - a)²/3a (a ≠ 0)

①当 a > 0 时，显然g'(x)是一个开口向上的抛物线，不管a为多少，它在(-∞,a/3)没有最大值，因此a > 0不合题意，舍去。

②当 a < 0 时，g'(x)是一个开口向下的抛物线，它的对称轴为 x = 2(a - 1)/3a
由a/3 ≤ 2(a - 1)/3a ，a² ≥ 2a - 2，a² - 2a + 2 ≥ 0，恒成立
结合前提条件可得 a < 0，此时，(-∞,a/3)是g'(x)的递增区间内
此时g'(x)的最大值为g'(a/3) = a³/3 - 4a²/3 - 5a/3 ≤ 0
解得 a ≤ -1 或 a ≥ 5（舍去）

③当 a = 0 时，g(x) = 2x² ，g'(x) = 4x
g'(x)在区间(-∞,0)上恒小于零，满足题意。

综上可知a的取值范围为a≤-1或a=0

1147243576求的结论是错误的，比方说a=3
g(x) = 3x³ - 4x² - 9x
g'(x) = 9x² - 8x - 9
区间为(-∞,1)
取x = -1，可得g'(x) = 8 ＞ 0
不满足导函数小于零的条件。

Answer 2

求导g(x)=3ax²+4（1-a）x-3a
函数g(x)=ax^3+2(1-a)x^2-3ax在区间(-无穷,a/3)内单调递减
所以x=a/3时，导数g(x)≤0
3a×【(a/3)²】+4（1-a）×a/3-3a≤0
化简，得
a(a-5)(a+1)≤0
解得a≤-1或0≤a≤5

Answer 3

算了半天没思路啊