Question

已知函数f(x)=e^x(ax^2+a+1) a∈R。若f（x）≥2/e^2 对任意x∈[-2,-1 ]恒成立，求a的范围。

Answer 1

由已知得f'(x)=e^x(ax^2+2ax+a+1)
当a=0时，f'(x)=e^x>0
此时f(x)是单调递增的，因此在x∈[-2,-1 ]时，f(x）≥f(-2)=e^(-2)与已知f(x)≥2/e^2矛盾，所以a=0不符合条件，因此a≠0
当a>0时，而ax^2+2ax+a+1的判别式=(2a)^2-4a(a+1)=-4a<0
所以对于任意的x，ax^2+2ax+a+1>0, 所以f‘（x）>0, 即f(x)在[-2,-1]上单调递增，
因此f(x)≥f(-2)=(4a+1+1)/e^2=(5a+1)/e^2≥2/e^2
所以5a+1≥2， 从而a≥1/5.
当a<0时，ax^2+2ax+a+1=a(x+1)^2+1=0的解是x=sqrt(-1/a)+1, 或x=-sqrt(-1/a)-1.
在讨论区间内的只可能是x=-sqrt(-1/a)-1.
1）若x=-sqrt(-1/a)-1≤-2, 即-1≤a<0时，f'(x)在[-2,-1]上是大于0的，因此f(x)在[-2,-1]单调递增的，所以f(x)≥f(-2)=(5a+1)/e^2≥2/e^2, 解得a≥1/5不符合
2）若x=-sqrt(-1/a)-1>-2, 即a<-1时
f'(x)在[-2,x]上是小于0的 ，在[x,-1]上f'(x)>0,因此f(x)在[-2,x]上单调递减，在[x,-1]上单调递增，
因此f(x)≥f(-sqrt(-1/a)-1)=2a(sqrt(-1/a)+1)e^(-sqrt(-1/a)-1)， 而
f(-sqrt(-1/a)-1)<0, 因此不可能大于等于2/e^2, 因此a<-1不符合。
综上可知，a的取值范围是a>=1/5