Question

在三角形ABC中,角ABC=60度,AD,CE分别平分角BAC,角ACB,交BC,AB于D,E,求证:AC=AE+CD

Answer 1

证明：【此题主要是证明两角平分线夹角60º】
设AD，CE相交于O，在AC上截取AF=AE，连接OF
∵∠ABC=60º
∴∠BAC+∠ACB=120º
∵AD平分∠BAC
∴∠EAO=∠FAO=½∠BAC
又∵AE=AF，AO=AO
∴⊿AEO≌⊿AFO（SAS）
∴∠AOE=∠AOF
∵CE平分∠ACB
∴∠FCO=∠DCO=½∠ACB
∴∠COD=∠FAO+∠FCO=½∠BAC+½∠ACB=60º
∴∠AOE=∠AOF=60º
∴∠COF=180º-∠COD-∠AOF=60º
∴∠COD=∠COF
又∵CO=CO
∴⊿COD≌⊿COF（ASA）
∴CD=CF
∴AC=AF+CF=AE+CD

Answer 2

在AC上截取CG=CD，连接OG,(说明,AD,CE交于O)
在△COD与△COG中
∠OCG=∠OCD(已知）
CG=CD（做的）
CO=CO
∴△COD与△COG全等
∴∠ADC=∠OGC
又∵∠BAD=∠DAC=1/2∠BAC
∠AEC=∠ABC+1/2∠BCA
=60°+(180°-∠ABC-∠BAC)/2
=60°+90°-30°-1/2∠BAC
=120°--1/2∠BAC
∠AGO=180°-∠OGC
=180°-∠ADC
=180°-(∠ABC+1/2∠BAC)
=180°-60°-1/2∠BAC
=120°-1/2∠BAC
∴∠AGO=∠AEC
在△AOE与△AOG中
∠BAD=∠DAC
∠AGO=∠AEC
AO=AO
∴△AOE与△AOG全等
∴AE=AG
又AG+CG=AC
∴AC=CD+AE