Question

（四川初中竞赛题）△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E.F分别是AB.AC边上的点，且DE⊥DF,

BE=12，CF=5,求△DEF的面积

Answer 1

解：由题意得
角B=角DAF
BD=AD
角EDB=角ADE
所以三角形EDB全等于三角形FDA
DE=DF
BE=AF
所以AE=CF
因为BE=12,CF=5
所以EF=13
因为DE垂直DF
所以DE=13/2根号2
所以三角形DEF的面积为1/3DE^2=169/6

Answer 2

连结AD，因为△ABC是等腰直角三角形，则
AD⊥BC且AD=BC/2=CD，角BAD=角CAD=角B=角C=45度
又因为DE⊥DF
所以角EDA+角ADF=角FDC+角ADF=90度
即角EDA=角FDC
根据角边角，则△DEA与△FDC全等。
所以AE=CF=5
即AC=AB=AE+BE=17
所以S△DEF=S△ABC-S△AEF-S△BDE-S△DFC
=17*17/2-12*5/2-17*12/4-17*5/4=169/4

Answer 3

隐含了两个条件：DE=DF,△BDE≌△ADF；BE²+CF²=EF²
（1）连接AD，根据等腰直角三角形性质和直角三角形斜边上中线性质求出∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°，AD=BD，求出∠BDE=∠ADF，根据ASA证△BDE≌△ADF即可；
（2）根据AAS证△ADE≌△CDF，推出AE=CF，根据勾股定理求出即可；BE²+CF²=EF²

（3）求出EF长，根据勾股定理求出DE和DF，根据三角形的面积公式求出即可