Question

如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，2），B（3，0），C（3，4）三点， （1）求三角形ABC的面积；

如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，2），B（3，0），C（3，4）三点，
（1）求三角形ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积．
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

1)S△ABC=OB△CB=3×4÷2=12.÷2=6
2）如图，做P点垂直x轴于点D.
S四边形ABOP=S△AOB+S△AOP
=（OA×OB+OA×OD）÷2
=（2×3）÷2+2m÷2
=3+m

Answer 2

解：1)S△ABC=OB△CB=3×4÷2=12.÷2=6
2）作PD垂直y轴于点D.
S四边形ABOP=S△AOB+S△AOP
=OA×OB/2+OA×PD/2
=2×3/2+2(-m)/2
=3-m
（3）存在P点，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等．
作AE垂直BC于点E, 当四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等时，
S△AOB=S△AEB
所以，只需S△AOP=S△ACE,因为AO=CE,所以PD=AE即可
即 - m = 3，得 m= - 3，
此时P点坐标为：（-3，1），

Answer 3

（1）将A，B，C坐标在直角坐标系中表示出来，由三角形面积公式即可求解，（2）因为P在第二象限，将四边形ABOP的面积表示成三角形APO和三角形AOB的面积和，即可求解，（3）当四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等时，即3-m=6，得m=-3，即可进行求解．
解答：解：（1）已知点A（0，2），B（3，0），C（3，4），
过A点作BC边上的高，交BC于点H，
则三角形ABC的面积为：S=12BC•AH=12×4×3=6；

（2）四边形ABOP的面积可以看作是△APO和△AOB的面积和，
∵P在第二象限，∴m＜0，SAPOB=S△AOB+SAPO=12×2×3+12×（-m）×2=3-m．
故四边形ABOP的面积为3-m；

（3）当四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等时，
即3-m=6，得m=-3，
此时P点坐标为：（-3，12），
存在P点，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等．