Question

一道浙江数学高考题，求解

设函数f(x)=a^2lnx-x^2+ax(a>0)
（1）求f(x)的单调区间
（2）求所有的实数a，是e-1≤ f(x)≤ e^2，x∈[1,e]

是一道浙江的高考题，不知是哪年的。。。

Answer 1

①
∵f(x)＝a²lnx－x²＋ax，其中x＞0
∴f'(x)＝(a²/x)－2x＋a＝－(x－a)(2x＋a)/x
∵a＞0
∴f(x)的单调增区间为(0，a)，f(x)的单调减区间为(a，＋∞)
②
由题意得：
f(1)＝a－1≥e－1
即a≥e
由①知：f(x)在[1，e]内单调递增
要使e－1≤f(x)≤e²对x∈[1，e]恒成立
只要：
f(1)＝a－1≥e－1
f(e)＝a²－e²＋ae≤e²
解得：a＝e

Answer 2

定义域为x>0
1） f'(x)=a^2/x-2x+a=(-2x^2+ax+a^2)/x=-(2x+a)(x-a)/x得极值点x=a, -a/2
因为a>0, 所以当0<x<a时，f'(x)>0, （0，a)为单调增区间
2）当x∈[1,e]时，求f(x)的最大值
端点值f(1)=-1+a<=e^2, 得a<=e^2+1
f(e)=a^2-e^2+ae<=e^2, 得-2e<=a<=e
如果a∈[1,e], 极值点f(a)=a^2lna<=e^2lne=e^2 ， 因此a∈[1,e]满足要求
如果-a/2∈[1,e], 即a∈[-2e,-2],极值点f(-a/2)=a^2[ln(-a/2)-3/4]<=a^2(1-3/4)<=e^2, 因此a∈[-2e,-2]也满足要求。
如果a不在上述两个区间，则最大值必在端点，由上，得：-2e=<a<=e
因为a>0
综上，a的取值范围是（0，e]∪[-2e,0)

Answer 3

题都木有。。不知怎解。。。。