Question

在如图的直角坐标系中，已知点A（1，0）；B（0，-2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．

（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y=-1/2x^2+ax+2经过点C．
①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在点P（点C除外）使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)过点C作CD⊥x轴，垂足为D，
在△ACD和△BAO中，由已知有∠CAD＋∠BAO＝90°,
而∠ABO＋∠BAO＝90°∴∠CAD＝∠ABO，
又∵∠CAD＝∠AOB＝90°,且由已知有CA＝AB，
∴△ACD≌△BAO，∴CD＝OA＝1,AD＝BO＝2，
∴点C的坐标为(3,－1)（2）①∵抛物线y=-1 2 x2+ax+2经过点C，且C（3，-1），
∴把C的坐标代入得：-1=-9 2 +3a+2，解得：a=1 2 ，
则抛物线的解析式为y=-1 2 x2+1 2 x+2；
②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，
（i）若以AB为直角边，点A为直角顶点，
则延长CA至点P1使得P1A=CA，得到等腰直角三角形ABP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图所示，
∵AP1=CA，∠MAP1=∠CAD，∠P1MA=∠CDA=90°，
∴△AMP1≌△ADC，
∴AM=AD=2，P1M=CD=1，
∴P1（-1，1），经检验点P1在抛物线y=-1 2 x2+1 2 x+2上；
（ii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP2⊥BA，且使得BP2=AB，
得到等腰直角三角形ABP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图，

同理可证△BP2N≌△BAO，
∴NP2=OA=2，BN=OA=1，
∴P2（-2，-1），经检验P2（-2，-1）也在抛物线y=-1 2 x2+1 2 x+2上；
（iii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP3⊥BA，且使得BP3=AB，
得到等腰直角三角形ABP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图，

同理可证△BP3H≌△BAO，
∴HP3=OB=2，BH=OA=1，
∴P3（2，-3），经检验P3（2，-3）不在抛物线y=-1 2 x2+1 2 x+2上；
则符合条件的点有P1（-1，1），P2（-2，-1）两点．

Answer 2

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