Question

如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．

这条曲线是函数y=2x分之1的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．（1）证明AF•BE=1（2）分别求出点E、F的坐标（用a的代数式表示点E的坐标，用b的代数式表示点F的坐标，只须写出结果，不要求写出计算过程）；
（3）求△OEF的面积（结果用含a、b的代数式表示）；
（4）△AOF与△BOE是否一定相似，请予以证明；如果不一定相似或一定不相似，简要说明理由．
（5）当点P在曲线y=2x分之1上移动时，△OEF随之变动，指出△OEF的三个内角中，大小始终保持不变的那个角的大小，并证明你的结论
好的加分

Answer 1

(1) E(a, 1-a), F(1-b, b)

(2)直线在x轴和y轴上的截距均为1, 其方程为x + y = 1, x + y - 1 = 0
O与其距离为h = |0 + 0 -1|/√(1+1) = 1/√2
EF = √[(a - 1 + b)² + (1 -a -b)²] = (√2)|a + b -1|
这条曲线是函数y=12/x的图象在第一象限的一个分支, 显然a + b > 1
EF = (√2)(a + b -1)
△OEF的面积 = (1/2)*EF* h
= (1/2)(√2)(a + b -1)(1/√2)
= (a + b -1)/2

(3)
AF = √[(1 - b -1)² + (b - 0)²] = (√2)b
BE = √[(a - 0)² + (1 - a - 1)²] = (√2)a

(4)△AOF与△BOE相似, 则AOF与BOE二角相等, 均减去公共部分角EOF, 则AOE与BOF二角相等
tanAOE = |EM/OM| = |1 - a|/a
tanBOF = |FN/AN| = |1 - b|/b
只有在a = b时，二者才可能相似(容易证明此时二者的确相似; 实际上全等)

Answer 2

解：（1）根据题意，易知：直线AB的解析式为y=-x+1，
点E的坐标是（a，1-a），点F的坐标是（1-b，b），
当PM、PN与线段AB都相交时，如图1，
∴S△EOF=S△AOB-S△AOE-S△BOF
=1 2 ×1×1-1 2 ×1×(1-a)-1 2 ×1×(1-b)
=a+b-1 2 ，
当PM、PN中有一条与AB相交，另一条与BA延长线或AB延长线相交时，如图2和图3，
∴S△EOF=S△FOA+S△AOE=1 2 ×1×b+1 2 ×1×（a-1）=a+b-1 2 ，
∴S△EOF=S△FOB+S△BOE=1 2 ×1×(b-1)+1 2 ×1×a=a+b-1 2 ，
即S△EOF=a+b-1 2 ；

（2）△AOF和△BEO一定相似．
∵如图1，OA=OB=1，
∴∠OAF=∠EBO，
∴BE=BA-AE= 2 - (1-a)2+(1-a)2 = 2 a，
AF=BA-BF= 2 - (1-b)2+(1-b)2 = 2 b，
∵点P是函数y=1 2x 图象上任意一点，
∴b=1 2a ，即2ab=1，
∴ 2 a× 2 b=1即，AF•BE=OB•OA，
∴AF OB =OA BE ，
∴△AOF∽△BEO，
∵对图2，图3同理可证，
∴△AOF∽△BEO；

（3）当点P在曲线上移动时，在△OEF中，∠EOF一定等于45°，
由（2）知，△AOF∽△BEO，
∴∠AFO=∠BOE，
如图1，在△BOF中，∠AFO=∠BOF+∠B，
而∠BOE=∠BOF+∠EOF，
∴∠EOF=∠B=45°，
对图2，图3同理可证，
∴∠EOF=45°．

Answer 3

你根本就没有听，你根本就没有认真