Question

已知数列{an}满足：a1=1,nan+1=2(n+1)an+n(n+1) (1)若bn=an/n+1，试证明{bn}为等比数列 (2)求an和Sn

Answer 1

为方便识别，以下将A(n+1)、an表示an的第n+1、n项，B(n+1)、bn表示bn的第n+1、n项
1、由nA(n+1)=2(n+1)an+n(n+1)两边同除n(n+1)得
A(n+1)/(n+1)+1=2(an/n+1)
由bn=an/n+1，则
B(n+1)=2bn
即bn为等比数列且bn=b1*2^(n-1)=2*2^(n-1)=2^n (1)
2、由(1)可得an=n(bn-1)=n2^n-n
下面求an的前n项和
Sn=2+2*2^2+3*2^3+...+n2^n-(1+2+3+...+n)
令Rn为n2^n的前n项和，则
Rn=2+2*2^2+3*2^3+...+n2^n (2)
2Rn=2^2+2*2^3+3*2^4+...+n2^(n+1) (3)
(3)-(2)得
Rn=n2^(n+1)-(2+2^2+2^3+...+2^n)=n2^(n+1)-2(2^n-1)/(2-1)=(n-1)2^(n+1)-2
所以Sn=Rn-（1+2+3+。。。+n)=(n-1)2^(n+1)-2-n(n+1)/2

Answer 2

nan+1=2(n+1)an+n(n+1)两边分别处以n(n+1)可以得出一个an/n的新的等差数列，这样就可以an了，剩下的是按要求做就可