Question

如图,E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点

(1)判断四边形EFGH的形状并加以证明。（2）若AC=10cm，BD=8cm求四边形EFGH的周长..

Answer 1

1、平行四边形EFGH
证明：连接AC、BD
∵E是AB的中点，H是AD的中点
∴EH是△ABD的中位线
∴EH＝BD/2,EH∥BD
∵F是BC的中点，G是CD的中点
∴FG是△CBD的中位线
∴FG＝BD/2,FG∥BD
∴EH＝FG，EH∥FG
∴平行四边形EFGH
2、解：
∵BD＝8,EH＝FG＝BD/2
∴EH＝FG＝4
∵H是AD的中点，G是CD的中点
∴HG是△ACD的中位线
∴HG＝AC/2
∵AC＝10
∴HG＝5
∵平行四边形EFGH
∴EF＝HG＝5
∴四边形EFGH的周长＝EF+FG+HG+EH＝5+4+5+4＝18（cm）

Answer 2

（1）四边形EFGH为平行四边形
证明：连接AC＼BD
　　　∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点
　　　∴DH＝AH，DG＝CG，所以DH：AH＝DG：CG，又∠D＝∠D
　　　∴△DHG∽△DAC（两边对应成比例且夹角相等）
　　　∴HG∥AC且HG：AC＝DG：DC　，即HG＝1／2AC，同理可证EF∥AC且EF＝1／2AC
　　　∴HG∥AC且HG＝AC同理可证EH∥BD，EH＝GF＝1／2BD
　　　∴四边形EFGH为平行四边形
（2）由上面知
四边形EFGH周长L＝EH＋GF＋HG＋EF＝1／2BD＋1／2BD＋1／2AC＋1／2AC＝BD＋AC＝18　cm