Question

若关于x的方程2cos2x-4sinx+4k+5=0有解,则实数k的取值范围

Answer 1

解答如下：
2cos2x-4sinx+4k+5 = 2（1 - 2sin²x）- 4sinx + 4k + 5
= -4sin²x - 4sinx + 4k + 7 = 0
令sinx = t t∈[-1,1]
则4t² + 4t - 4k - 7 = 0有解
记f（t）= 4t² + 4t - 4k - 7 对称轴为t = -1/2
开口朝上，所以对称轴上的函数值要小于等于0，且在1处的函数值要大于等于0

t = -1/2带进去，1 - 2 - 4k - 7 ≤ 0，k≥ -2
t = 1带进去，4 + 4 - 4k - 7 ≥ 0，k ≤ 1/4
所以-2 ≤ k ≤ 1/4

Answer 2

解：2cos2x-4sinx+4k+5=0
4k+5=-2cos2x+4sinx = -2(1-2sin²x)+4sinx = 4sin²x+4sinx-2
令y=2t²+2t-1 t = sinx 且 t∈[-1,1]
则：对称轴： -b/2a = -1/2 ∈[-1,1]
∴当t = -1/2 时 y（min） = -3/2
当 t =1 时 y（max）= 3
即 -3/2 ≤ 1/2（4k+5）≤ 3
-3 ≤ 4k+5 ≤ 6
-8 ≤ 4k ≤ 1
-2 ≤ k ≤ 1/4