Question

求定积分∫(1,-1)√1-x^2 dx=

过程

Answer 1

∫(-1-->1) √(1 - x²) dx = 2∫(0-->1) √(1 - x²) dx，令x = sinθ，dx = cosθdθ
当x = 0，θ = 0，当x = 1，θ = π/2
= 2∫(0-->π/2) cos²θ dθ
= 2∫(0-->π/2) (1 + cos2θ)/2 dθ
= [θ + 1/2 · sin2θ] |(0-->π/2)
= π/2

几何意义：
x² + y² = 1，半径为1，积分区间为-1到1，即半个圆
所表示的面积为1/2 · π(1)² = π/2

Answer 2

这个定积分其实就是求圆心在原点，半径为1的半圆的面积。
所以，定积分值等于
1/2 · π(1)² = π/2 。
再提醒你一句：不定积分是求原函数，定积分是求曲边图形的面积，两者本质是不同的。牛顿-莱布尼兹公式只是沟通两者的一种办法。并不是说所有的定积分都要先求出原函数，再用这个公式，要知道，有些积分是没有原函数的，但是我们仍然可以通过一些办法来求出其对应的定积分的值。