Question

求dy的问题，这里的dy指的是求什么？看不怎么明白，y的微分是求z对y的偏导数吗，题目如图

Answer 1

其实这个就是一个隐函数求全微分的过程，实际上你不要总是把z看成函数，对于隐函数，我们可以将任何一个变量看做函数，因此，这里的dy其实就是求y关于x和z的全微分。
z = [e^(x + y)] ln(xy)
先求y关于z的偏导数∂y/∂z ，两边对z求导有
1 = [e^(x + y)] ln(xy) (∂y/∂z) + [(1/xy)·x(∂y/∂z)]e^(x + y)
求得
(ln(xy) + 1/y)e^(x + y)(∂y/∂z) = 1
∂y/∂z = [ (ln(xy) + 1/y)e^(x + y) ]^(-1)
两边对x求偏导数∂y/∂x，有
0 = ln(xy)e^(x + y)(1 + ∂y/∂x) + (1/xy)[y + (∂y/∂x)]e^(x + y)
ln(xy)(1 + ∂y/∂x) + (∂y/∂x)/(xy) + 1/x = 0
[ln(xy) + 1/xy](∂y/∂x) = -ln(xy) - 1/x
∂y/∂x = -[ ln(xy) + 1/x ]·[ ln(xy) + 1/xy ]^(-1)
那么dy=(∂y/∂x)dx + (∂y/∂z)dz